cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Intervalle de fluctuation, estimation

II - Intervalle de confiance

On cherche à estimer avec un certain niveau de confiance, la proportion p inconnue d'un caractère au sein d'une population à partir d'un échantillon de taille n.

1 - Définition

Soit f la fréquence observée d'un caractère dans un échantillon de taille n.
Sous les conditions usuelles d'approximation $n ⩾ 30$ , $n p ⩾ 5$ et $n (1 - p) ⩾ 5$ , l'intervalle $[f - \frac{1}{\sqrt{n}}; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ est un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion inconnue p dans la population.

remarques

En pratique, les conditions de validité de la formule peuvent être vérifiées à posteriori.
La précision de l'intervalle de confiance est donnée par son amplitude $\frac{2}{\sqrt{n}}$ . Plus la taille de l'échantillon est grande, plus les intervalles de confiance obtenus sont précis.
La différence entre deux fréquences $f_{1}$ et $f_{2}$ observées sur deux échantillons est considérée comme significative quand les intervalles de confiance correspondants sont disjoints.
Dans ce cas, on considère que les deux proportions $p_{1}$ et $p_{2}$ sont différentes. Dans le cas contraire, on ne peut pas conclure.

exemple

On interroge au hasard 150 clients ayant effectué des achats à la sortie d'une grande surface. Le temps d'attente aux caisses a été jugé raisonnable par 78 personnes interrogées.

Peut-on considérer que plus de 50 % des clients de cette grande surface estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable ?
Soit $f = \frac{78}{150} = 0,52$ la fréquence des clients qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable.
Les bornes de l'intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion des clients qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable sont : $\begin{array}{rcl} f - \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,52 - \frac{1}{\sqrt{150}} \approx 0,438 & et & f + \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,52 + \frac{1}{\sqrt{150}} \approx 0,602 \end{array}$
On a : $n = 100$ et $0,438 < p < 0,602$ d'où $150 \times 0,438 < n p < 150 \times 0,602$ et $150 \times (1 - 0,602) < n (1 - p) < 150 \times (1 - 0,438)$ .
Soit $n ⩾ 30$ , $65,7 < n p < 90,3$ et $59,7 < n (1 - p) < 84,3$ . Les conditions d'approximation d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % sont vérifiées.
Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion de clients qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable est $I_{c} = [0,438; 0,602]$ .
La borne inférieure de l'intervalle de confiance est 0,438, il est donc possible que moins de 50 % des clients trouvent que le temps d'attente aux caisses est raisonnable.
Déterminer le nombre minimal de clients qu'il faut interroger pour estimer la proportion p de clients qui trouvent le temps d'attente aux caisses raisonnable avec une précision inférieure à 0,1.
La précision de l'estimation de la proportion inconnue p est $\frac{2}{\sqrt{n}}$ . Pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} \frac{2}{\sqrt{n}} < 0,1 & \Leftrightarrow & \frac{1}{\sqrt{n}} < 0,05 \\ \Leftrightarrow & \sqrt{n} > \frac{1}{0,05} \\ \Leftrightarrow & n > 400 \end{array}$
Il faut interroger plus de 400 clients pour obtenir une estimation de la proportion p de clients qui trouvent le temps d'attente aux caisses raisonnable avec une précision inférieure à 0,1.
À fréquence observée égale à 0,52, quel nombre de clients aurait-il fallu interroger pour estimer que plus de 50 % des clients trouvent que le temps d'attente aux caisses est raisonnable ?
La borne inférieure de l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 sur un échantillon de taille n est $0,52 - \frac{1}{\sqrt{n}}$ d'où n est solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcl} 0,52 - \frac{1}{\sqrt{n}} ⩾ 0,5 & \Leftrightarrow & - \frac{1}{\sqrt{n}} ⩾ - 0,02 \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{\sqrt{n}} ⩽ 0,02 \\ \Leftrightarrow & \sqrt{n} ⩾ \frac{1}{0,02} \\ \Leftrightarrow & n ⩾ 2500 \end{array}$
Avec une fréquence observée égale à 0,52, il faudrait un échantillon de taille supérieure à 2500 pour que la proportion p de clients qui trouvent le temps d'attente aux caisses raisonnable appartienne à un intervalle de confiance dont la borne inférieure est supérieure à 0,5.

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