bac blanc du 23 mars 2016

Corrigé de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

1. Pour tous nombres réels a et b, $\cos \left(a-b\right)=\cdots$

   D'après les formules d'addition pour tous nombres réels a et b :$$\cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$

   a.   $\cos a\sin b+\sin a\cos b$

   b.   $\cos a\sin b-\sin a\cos b$

   c.   $\cos a\cos b+\sin a\sin b$

   d.   $\cos a\cos b-\sin a\sin b$

2. Pour tout nombre réel a, $\cos \left(2a\right)=\cdots$

   D'après les formules de duplication pour tout nombre réel a :$$\cos \left(2a\right)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$$

   a.   ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$

   b.   $1-{\sin }^{2}a$

   c.   ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a$

   d.   ${\cos }^{2}a-1$

3. Pour tout nombre réel a, ${\sin }^{2}a=\cdots$

   D'après les formules de duplication pour tout nombre réel a :$$\begin{array}{ccc}\cos \left(2a\right)=1-2{\sin }^{2}a& \iff & {\sin }^{2}a={\displaystyle \frac{1-\cos 2a}{2}}\end{array}$$

   a.   ${\displaystyle \frac{1-\cos 2a}{2}}$

   b.   ${\displaystyle \frac{1+\cos 2a}{2}}$

   c.   ${\displaystyle \frac{1-\sin 2a}{2}}$

   d.   ${\displaystyle \frac{1+\sin 2a}{2}}$

4. La tangente à la courbe représentative de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\sin \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)+\sin \left(2x\right)$ au point d'abscisse 0 a pour équation :

   Pour tout nombre réel x, $$f\prime \left(x\right)=\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)+2\cos \left(2x\right)$$

   La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)=-1$ et $f\prime \left(0\right)=2$ d'où une équation la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 :$$y=2x-1$$

   a.   $y=2x+1$

   b.   $y=2x-1$

   c.   $y=-2x+1$

   d.   $y=-2x-1$

5. La dérivée de la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ est la fonction $f\prime$ définie par :

   Pour tout nombre réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -2\sin \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\\ & =& -2\times \left[-\cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\right]\\ & =& 2\cos \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\end{array}$$

   a.   $f\prime \left(x\right)=2\cos \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$

   b.   $f\prime \left(x\right)=2\cos \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$

   c.   $f\prime \left(x\right)=2\sin \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$

   d.   $f\prime \left(x\right)=2\sin \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$

6. On pose $I={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{2\pi }\sin \left(\mathrm{0,5}x\right)\mathrm{d}x}$

   $$\begin{array}{rcl}I={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{2\pi }\sin \left(\mathrm{0,5}x\right)\mathrm{d}x}& =& {\left[-2\times \cos \left(\mathrm{0,5}x\right)\right]}_{-\pi }^{2\pi }\\ & =& \left(-2\cos \pi \right)-\left(-2\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\right)\\ & =& 2\end{array}$$

   a.   $I=-2$

   b.   $I={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   c.   $I={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

   d.   $I=2$

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