contrôles en terminale STI2D

bac blanc du 23 mars 2016

Corrigé de l'exercice 4

Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{- 3}$ près.

Un produit est conditionné en paquets dont la masse théorique est de 250 grammes.

partie a

La machine en charge du remplissage automatique des paquets est régulièrement calibrée.
On considère que la durée T de fonctionnement, exprimée en heures, entre deux calibrages, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $λ = 0,005$ .

Calculer l'espérance $E (T)$ de la variable aléatoire T. Interpréter ce résultat.
La variable aléatoire T suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0,005$ d'où : $E (T) = \frac{1}{0,005} = 200$
$E (T) = 200$ la durée moyenne de fonctionnement entre deux calibrages est égale à 200 heures.
Déterminer $P (T ⩾ 200)$ .
$\begin{array}{rcl} P (T ⩾ 200) & = & 1 - P (T ⩽ 200) \\ = & 1 - \int_{0}^{200} 0,005 e^{- 0,005 t} d t \\ = & 1 - {[- e^{- 0,005 t}]}_{0}^{200} \\ = & 1 - (- e^{- 1} + 1) \\ = & e^{- 1} \end{array}$
$P (T ⩾ 200) = \frac{1}{e} \approx 0,368$ .

partie b

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque paquet pris au hasard, associe sa masse exprimée en grammes. On considère que X suit la loi normale de moyenne $μ = 250$ et d'écart type $σ = 2,7$ .

Déterminer la probabilité $P (245 ⩽ X ⩽ 260)$ .
À l'aide de la calculatrice, on obtient $P (245 ⩽ X ⩽ 260) \approx 0,968$ .
Le contrôle de conformité mis en place rejette tout paquet dont la masse est inférieure à 245 grammes.
Quelle est la probabilité qu'un paquet pris au hasard ne soit pas conforme ?
$P (0 ⩽ X ⩽ 245) \approx 0,032$
La probabilité qu'un paquet pris au hasard ne soit pas conforme es égale à 0,032.

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