bac blanc du 23 mars 2016

Corrigé de l'exercice 3

On donne le nombre complexe $\mathrm{j}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $\mathrm{j}$, puis donner sa forme exponentielle.

   • Le module du nombre complexe $\mathrm{j}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ est : $$\left|\mathrm{j}\right|=\sqrt{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}=1$$

     Un argument θ du nombre complexe $\mathrm{j}$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$. D'où $\mathrm{j}$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   La forme exponentielle du nombre complexe $\mathrm{j}$ est $\mathrm{j}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

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2. Démontrer les égalités suivantes :

   1. ${\mathrm{j}}^3=1$ ;

      $${\mathrm{j}}^3={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}\times 3}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\pi }=1$$

      Ainsi, ${\mathrm{j}}^3=1$.

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   2. $\mathrm{j}+{\mathrm{j}}^2+{\mathrm{j}}^3=0$.

      $${\mathrm{j}}^2={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}\times 2}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{4\pi }{3}}$$

      Par conséquent, $$\begin{array}{rcl}\mathrm{j}+{\mathrm{j}}^2+{\mathrm{j}}^3& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)+1\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ & =& 0\end{array}$$

      Ainsi, $\mathrm{j}+{\mathrm{j}}^2+{\mathrm{j}}^3=0$.

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3. 1. Placer les points A, B et C d'affixes respectives $\mathrm{j}$ , ${\mathrm{j}}^2$ et ${\mathrm{j}}^3$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

   2. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.

      $$\begin{array}{l}AB=\left|{\mathrm{j}}^2-\mathrm{j}\right|=\left|-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right|=\left|-\mathrm{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}\\ AC=\left|{\mathrm{j}}^3-\mathrm{j}\right|=\left|1+{\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{3}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right|=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}=\sqrt{3}\\ BC=\left|{\mathrm{j}}^3-{\mathrm{j}}^2\right|=\left|1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{3}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right|=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}=\sqrt{3}\end{array}$$

      $AB=AC=BC$ donc le triangle ABC est equilatéral.

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