bac blanc du 23 mars 2016

Corrigé de l'exercice 2

Un véhicule hybride est équipé d'une batterie Li-ion dont la capacité d'énergie massique est de 180 Wh/kg.
La vie de cette batterie a été reconstituée en laboratoire en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer sa durée de vie en fonction de différents facteurs et partant du principe que la batterie est jugée « inutilisable » dès lors qu'elle perd plus de 20 % de sa capacité d'énergie massique.
Les résultats obtenus ont permis d'établir que la capacité d'énergie massique de la batterie diminue de 1,4 % par an.
Pour tout entier naturel n, on note $C_n$ la capacité d'énergie massique en Wh/kg de la batterie au bout de n années. On a donc $C_0=180$.

1. 1. Calculer $C_1$. Interpréter le résultat.

      $$C_1=180\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}}{100}}\right)=\mathrm{177,48}$$

      $C_1=\mathrm{177,48}$. Après un an d'utilisation, la capacité d'énergie massique de cette batterie est de 177,48 Wh/kg.

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   2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.

      $$C_{n+1}=C_n\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}}{100}}\right)=\mathrm{0,986}\times C_n$$

      Pour tout entier naturel n, on a $C_{n+1}=\mathrm{0,986}\times C_n$.

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   3. Justifier que $C_n=180\times {\mathrm{0,986}}^n$.

      $C_0=180$ et pour tout entier naturel n, on a $C_{n+1}=\mathrm{0,986}\times C_n$ alors, $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,986 et de premier terme 180.

      Pour tout entier naturel n, on a $C_n=180\times {\mathrm{0,986}}^n$.

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2. On cherche à déterminer à l'aide d'un algorithme au bout de combien d'années, cette batterie devient « inutilisable ».
   Recopier et compléter la partie relative au traitement.

   La batterie est jugée « inutilisable » dès lors qu'elle perd plus de 20 % de sa capacité d'énergie massique. C'est à dire quand sa capacité d'énergie massique en Wh/kg est indérieure à $180\times \mathrm{0,8}=144$

   variables N : nombre entier naturel C : nombre réel initialisation N prend la valeur 0 C prend la valeur 180 traitement Tant que $C⩾144$ N prend la valeur $N+1$ C prend la valeur $C\times \mathrm{0,986}$ Fin Tant que sortie Afficher N

   ou

   variables N : nombre entier naturel C : nombre réel initialisation N prend la valeur 0 C prend la valeur 180 traitement Tant que $C⩾144$ N prend la valeur $N+1$ C prend la valeur $180\times {\mathrm{0,986}}^N$ Fin Tant que sortie Afficher N

3. 1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $180\times {\mathrm{0,986}}^x⩾144$.

      Pour tout réel x :$$\begin{array}{rcll}180\times {\mathrm{0,986}}^x⩾144& \iff & {\mathrm{0,986}}^x⩾{\displaystyle \frac{144}{180}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,986}}^x\right)⩾\ln \mathrm{0,8}& \\ & \iff & x\ln \mathrm{0,986}⩾\ln \mathrm{0,8}& \\ & \iff & x⩽{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,8}}{\ln \mathrm{0,986}}}& \ln \mathrm{0,986}<0\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'inéquation $180\times {\mathrm{0,986}}^x⩾144$ est l'intervalle $S=\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,8}}{\ln \mathrm{0,986}}}\right]$.

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   2. En déduire au bout de combien d'années, cette batterie devient « inutilisable ».

      ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,8}}{\ln \mathrm{0,986}}}\approx \mathrm{15,8}$ donc le plus petit entier n tel que $180\times {\mathrm{0,986}}^n<144$ est 16.

      Cette batterie devient « inutilisable » au bout de 16 ans.

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