contrôles en terminale STI2D

contrôle du 14 octobre 2016

Corrigé de l'exercice 1

La température de refroidissement d'une pâtisserie à la sortie du four dépend du type de pâtisserie et de la température ambiante supposée constante de la pièce dans laquelle elle est entreposée.
La température d'une tarte à la sortie du four est de 180°C.
L'évolution de la température de la tarte en fonction du temps est modélisée par la suite $(T_{n})$ définie par $T_{0} = 180$ et, pour tout entier naturel n, $T_{n + 1} = 0,84 \times T_{n} + 3,2$ .
Pour tout entier naturel n, le terme $T_{n}$ de la suite $(T_{n})$ est égal à la température en degrés Celsius de la tarte n minutes après la sortie du four.

partie a

La tarte peut être sortie de son moule dès que sa température est inférieure à 80°C.
Pour déterminer au bout de combien de minutes la tarte peut être démoulée, on utilise un algorithme.

Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.

variables :	N est un entier naturel T est un nombre réel
initialisation :	Affecter à N la valeur 0 Affecter à T la valeur 180
traitement :	Tant que $T ⩾ 80$ Affecter à T la valeur $0,84 \times T + 3,2$ Affecter à N la valeur $N + 1$ Fin Tant que
Sortie :	Afficher N

Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.
Valeur de N 0 1 2 3 4 5 6
Valeur de T 180 154 133 115 100 87 76
Condition $T ⩾ 80$ Vraie Vraie Vraie Vraie Vraie Vraie FAUSSE
Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La valeur affichée en sortie par cet algorithme est 6. La tarte peut être démoulée six minutes après la sortie du four.

partie b

Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(V_{n})$ par : $V_{n} = T_{n} - 20$ .
1. Montrer que la suite $(V_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} V_{n + 1} & = & T_{n + 1} - 20 \\ = & 0,84 T_{n} + 3,2 - 20 \\ = & 0,84 T_{n} - 16,8 \\ = & 0,84 \times (T_{n} - 20) \\ = & 0,84 V_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $V_{n + 1} = 0,84 V_{n}$ donc $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,84. Le premier terme de cette suite est $V_{0} = 180 - 20 = 160$ .
2. Exprimer $V_{n}$ en fonction de n.
  $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,84 et de premier terme $V_{0} = 160$ donc pour tout entier naturel n, $V_{n} = 160 \times {0,84}^{n}$ .
3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $T_{n} = 160 \times {0,84}^{n} + 20$ .
  Pour tout entier naturel n, $V_{n} = T_{n} - 20 \Leftrightarrow T_{n} = V_{n} + 20$ donc :
  pour tout entier naturel n, on a $T_{n} = 160 \times {0,84}^{n} + 20$ .
Étudier la monotonie de la suite $(T_{n})$ .
Pour tout entier n, $\begin{matrix} T_{n + 1} - T_{n} & = & (160 \times {0,84}^{n + 1} + 20) - (160 \times {0,84}^{n} + 20) \\ = & 160 \times {0,84}^{n + 1} - 160 \times {0,84}^{n} \\ = & 160 \times {0,84}^{n} \times (0,84 - 1) \\ = & - 25,6 \times {0,84}^{n} \end{matrix}$
Or pour tout entier n, ${0,84}^{n} > 0$ d'où $- 25,6 \times {0,84}^{n} < 0$ , soit $T_{n + 1} - T_{n} < 0$ .
Ainsi, pour tout entier n, $T_{n + 1} - T_{n} < 0$ donc la suite $(T_{n})$ est strictement décroissante.
Calculer la limite de la suite $(T_{n})$ et interpréter ce résultat.
$0 < 0,84 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,84}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 160 \times {0,84}^{n} + 20 = 20$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} T_{n} = 20$ .
La suite $(T_{n})$ converge vers 20. À partir d'un certain temps, la température de la tarte sera proche de la température de la pièce : 20°C.

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Valeur de N	0	1	2	3	4	5	6
Valeur de T	180	154	133	115	100	87	76
Condition $T ⩾ 80$	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	FAUSSE