contrôles en terminale STI2D

contrôle du 14 octobre 2016

Corrigé de l'exercice 1

La température de refroidissement d'une pâtisserie à la sortie du four dépend du type de pâtisserie et de la température ambiante supposée constante de la pièce dans laquelle elle est entreposée.
La température d'une tarte à la sortie du four est de 180°C.
L'évolution de la température de la tarte en fonction du temps est modélisée par la suite Tn définie par T0=180 et, pour tout entier naturel n, Tn+1=0,84×Tn+3,2.
Pour tout entier naturel n, le terme Tn de la suite Tn est égal à la température en degrés Celsius de la tarte n minutes après la sortie du four.

partie a

La tarte peut être sortie de son moule dès que sa température est inférieure à 80°C.
Pour déterminer au bout de combien de minutes la tarte peut être démoulée, on utilise un algorithme.

  1. Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.

    variables :

    N est un entier naturel
    T est un nombre réel

    initialisation :

    Affecter à N la valeur 0
    Affecter à T la valeur 180

    traitement :

    Tant que T80
    Affecter à T la valeur 0,84×T+3,2
    Affecter à N la valeur N+1
    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher N

  2. Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.

    Valeur de N0123456
    Valeur de T1801541331151008776
    Condition T80VraieVraieVraieVraieVraieVraieFAUSSE
  3. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    La valeur affichée en sortie par cet algorithme est 6. La tarte peut être démoulée six minutes après la sortie du four.


partie b

  1. Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite Vn par : Vn=Tn-20.

    1. Montrer que la suite Vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, Vn+1=Tn+1-20=0,84Tn+3,2-20=0,84Tn-16,8=0,84×Tn-20=0,84Vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, Vn+1=0,84Vn donc Vn est une suite géométrique de raison 0,84. Le premier terme de cette suite est V0=180-20=160.


    2. Exprimer Vn en fonction de n.

      Vn est une suite géométrique de raison 0,84 et de premier terme V0=160 donc pour tout entier naturel n, Vn=160×0,84n.


    3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a : Tn=160×0,84n+20.

      Pour tout entier naturel n, Vn=Tn-20Tn=Vn+20 donc :

      pour tout entier naturel n, on a Tn=160×0,84n+20.


  2. Étudier la monotonie de la suite Tn.

    Pour tout entier n, Tn+1-Tn=160×0,84n+1+20-160×0,84n+20=160×0,84n+1-160×0,84n=160×0,84n×0,84-1=-25,6×0,84n

    Or pour tout entier n, 0,84n>0 d'où -25,6×0,84n<0, soit Tn+1-Tn<0.

    Ainsi, pour tout entier n, Tn+1-Tn<0 donc la suite Tn est strictement décroissante.


  3. Calculer la limite de la suite Tn et interpréter ce résultat.

    0<0,84<1 donc limn+0,84n=0 d'où, limn+160×0,84n+20=20. Soit limn+Tn=20.

    La suite Tn converge vers 20. À partir d'un certain temps, la température de la tarte sera proche de la température de la pièce : 20°C.



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