contrôle du 14 octobre 2016

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-7x-{\displaystyle \frac{9}{x}}+15$. On note $C_f$ la courbe représentative se la fonction f dans le plan.

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?

   1. $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2-7x+15=15$ et $\underset{x\to 0}{\lim }-{\displaystyle \frac{9}{x}}=-\infty$ alors, par somme des limites : $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2-7x-{\displaystyle \frac{9}{x}}+15=-\infty$.D'où $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2-7x+15=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{9}{x}}=0$ alors, par somme des limites : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2-7x-{\displaystyle \frac{9}{x}}+15=+\infty$.D'où $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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   3. $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ donc la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et, vérifier que pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-3\right)\left(2x^2-x-3\right)}{x^2}}$.

   Pour tout réel x strictement positif : $$f\prime \left(x\right)=2x-7+{\displaystyle \frac{9}{x^2}}={\displaystyle \frac{2x^3-7x^2+9}{x^2}}$$

   Comme pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}\left(x-3\right)\left(2x^2-x-3\right)& =& 2x^3-x^2-3x-6x^2+3x+9\\ & =& 2x^3-7x^2+9\end{array}$$

   On en déduit que :

   $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-3\right)\left(2x^2-x-3\right)}{x^2}}$.

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3. 1. Étudier le signe du polynôme $g\left(x\right)=2x^2-x-3$.

      g est une fonction polynôme du second degré. Le discriminant est $\mathrm{\Delta }=1-4\times 2\times \left(-3\right)=25$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{1-5}{4}}=-1& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{1+5}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le signe de $g\left(x\right)=2x^2-x-3$ :

      x	$-\infty$		$-1$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      $g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Étudions le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ à l'aide d'un tableau :

      x	0			${\displaystyle \frac{3}{2}}$		3		$+\infty$
      $x-3$			−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $2x^2-x-3$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      $x^2$			+	$|$	+	$|$	+
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

4. Donner le tableau de variations de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   x	0				${\displaystyle \frac{3}{2}}$		3		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$			$-\infty$		$\frac{3}{4}$		0		$+\infty$

5. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)=1-7-9+15=0$ et $f\prime \left(1\right)=2-7+9=4$ d'où une équation de la tangente (T):$$\begin{array}{ccc}y=4\times \left(x-1\right)& \iff & y=4x-4\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=4x-4$.

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