On a tracé ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur .
On note la dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer et .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. Comme la tangente passe par les points de coordonnées et alors
La tangente à la courbe au point d'abscisse e est parallèle à l'axe des abscisses donc .
Ainsi, et .
Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée de la fonction f et une autre d'une primitive F de la fonction f.
Déterminer la courbe associée à la fonction et celle qui est associée à la fonction F. Justifier la réponse.
Courbe représentative de la primitive F | Courbe représentative de la dérivée |
et donc :
la courbe est la courbe représentative de la dérivée
La fonction F est une primitive sur l'intervalle de la fonction f donc pour tout réel x strictement positif, on a . Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :
x | 0 | |||||
Signe de | − | + | ||||
Variations de F |
La courbe est la courbe représentative de la primitive F.
La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par .
Résoudre l'équation .
Pour tout réel x strictement positif,
L'équation admet pour solution le nombre e.
Calculer la limite de la fonction f en 0.
et alors, par somme des limites : .
Ainsi, .
Calculer la limite de la fonction f en .
et alors, par produit des limites : .
Ainsi, .
Montrer que pour tout réel x de l'intervalle on a .
f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x strictement positif,
Soit pour tout réel x strictement positif,
est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier le signe de suivant les valeurs du réel x.
Pour tout réel x strictement positif :
D'où le tableau du signe de sur l'intervalle :
x | 0 | e | ||||
− | + |
Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 0 | e | |||||
− | + | ||||||
0 |
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse .
Une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse est :
Or et d'où :
la tangente T à la courbe au point d'abscisse a pour équation .
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.