contrôle du 16 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 3

partie a

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(\mathrm{e}\right)$.

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1. Comme la tangente passe par les points de coordonnées $\left(0;-1\right)$ et $\left(1;-2\right)$ alors $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-2-\left(-1\right)}{1-0}}=-1$$

   • La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse e est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(\mathrm{e}\right)=0$.

   Ainsi, $f\prime \left(1\right)=-1$ et $f\prime \left(\mathrm{e}\right)=0$.

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2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f\prime$ de la fonction f et une autre d'une primitive F de la fonction f.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F. Justifier la réponse.

   Courbe représentative de la primitive F	Courbe représentative de la dérivée $f\prime$

   • $f\prime \left(1\right)=-1$ et $f\prime \left(\mathrm{e}\right)=0$ donc :

     la courbe $C_2$ est la courbe représentative de la dérivée $f\prime$

     ---

   • La fonction F est une primitive sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction f donc pour tout réel x strictement positif, on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :

     x	0			$\alpha \approx \mathrm{7,5}$		$+\infty$
     Signe de $f\left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     Variations de F

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     La courbe $C_1$ est la courbe représentative de la primitive F.

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partie b

La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=x\left(\ln \left(x\right)-2\right)$.

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

   Pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}x\left(\ln \left(x\right)-2\right)=0& \iff & \ln \left(x\right)-2=0\\ & \iff & \ln x=2\ln \mathrm{e}\\ & \iff & \ln x=\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)\\ & \iff & x={\mathrm{e}}^2\end{array}$$

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet pour solution le nombre e.

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2. 1. Calculer la limite de la fonction f en 0.

      $$f\left(x\right)=x\left(\ln \left(x\right)-2\right)=x\ln \left(x\right)-2x$$

      $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln \left(x\right)=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }2x=0$ alors, par somme des limites : $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln \left(x\right)-2x=0$.

      Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$.

      ---

   2. Calculer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(x\right)-2=+\infty$ alors, par produit des limites : $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\ln \left(x\right)-2\right)=+\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

      ---

3. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)-1$.

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-2& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$

   Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& \ln \left(x\right)-2+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & =& \ln \left(x\right)-1\end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)-1$.

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4. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

      Pour tout réel x strictement positif :$$\begin{array}{rcl}\ln \left(x\right)-1⩾0& \iff & \ln x⩾1\\ & \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

      D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :

      x	0			e		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	0				e		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			0		$-\mathrm{e}$		$+\infty$

5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse ${\mathrm{e}}^2$.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse ${\mathrm{e}}^2$ est :$$y=f\prime \left({\mathrm{e}}^2\right)\times \left(x-{\mathrm{e}}^2\right)+f\left({\mathrm{e}}^2\right)$$

   Or $f\left({\mathrm{e}}^2\right)={\mathrm{e}}^2\times \left(\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)-2\right)=0$ et $f\prime \left({\mathrm{e}}^2\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)-1=1$ d'où :

   la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse ${\mathrm{e}}^2$ a pour équation $y=x-{\mathrm{e}}^2$.

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