contrôles en terminale STI2D

contrôle du 16 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 3

partie a

On a tracé ci-dessous, la courbe Cf représentative d'une fonction f définie et dérivable sur ]0;+[.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On note f la dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer f(1) et f(e).

    • Le nombre dérivé f(1) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 1. Comme la tangente passe par les points de coordonnées (0;-1) et (1;-2) alors f(1)=-2-(-1)1-0=-1

    • La tangente à la courbe Cf au point d'abscisse e est parallèle à l'axe des abscisses donc f(e)=0.

    Ainsi, f(1)=-1 et f(e)=0.


  2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée f de la fonction f et une autre d'une primitive F de la fonction f.
    Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F. Justifier la réponse.

    Courbe représentative d'une primitive : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la dérivée : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe représentative
    de la primitive F
    Courbe représentative
    de la dérivée f
    • f(1)=-1 et f(e)=0 donc :

      la courbe C2 est la courbe représentative de la dérivée f


    • La fonction F est une primitive sur l'intervalle ]0;+[ de la fonction f donc pour tout réel x strictement positif, on a F(x)=f(x). Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :

      x0α7,5+
      Signe de f(x) 0||+
      Variations de F fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      La courbe C1 est la courbe représentative de la primitive F.


partie b

La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=x(ln(x)-2).

  1. Résoudre l'équation f(x)=0.

    Pour tout réel x strictement positif, x(ln(x)-2)=0ln(x)-2=0lnx=2lnelnx=ln(e2)x=e2

    L'équation f(x)=0 admet pour solution le nombre e.


    1. Calculer la limite de la fonction f en 0.

      f(x)=x(ln(x)-2)=xln(x)-2x

      limx0xln(x)=0 et limx02x=0 alors, par somme des limites : limx0xln(x)-2x=0.

      Ainsi, limx0f(x)=0.


    2. Calculer la limite de la fonction f en +.

      limx+x=+ et limx+ln(x)-2=+ alors, par produit des limites : limx+x(ln(x)-2)=+.

      Ainsi, limx0f(x)=+.


  2. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[ on a f(x)=ln(x)-1.

    f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x strictement positif, {u(x)=x;u(x)=1v(x)=ln(x)-2;v(x)=1x

    Soit pour tout réel x strictement positif, f(x)=ln(x)-2+x×1x=ln(x)-1

    f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[ par f(x)=ln(x)-1.


    1. Étudier le signe de f(x) suivant les valeurs du réel x.

      Pour tout réel x strictement positif :ln(x)-10lnx1xe

      D'où le tableau du signe de f(x) sur l'intervalle ]0;+[ :

      x0e+
      f(x) 0||+
    2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x0e+
      f(x) 0||+
      f(x) 

      0

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -e

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      +

  3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse e2.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse e2 est :y=f(e2)×(x-e2)+f(e2)

    Or f(e2)=e2×(ln(e2)-2)=0 et f(e2)=ln(e2)-1=1 d'où :

    la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse e2 a pour équation y=x-e2.



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