contrôle du 16 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 2

Un groupe industriel s'engage à réduire ses émissions de polluants de 4 % par an.
En 2015, la masse de polluants émise dans l'atmosphère était de 50000 tonnes.
Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ la masse, exprimée en tonnes, de polluants émise dans l'atmosphère pour l'année 2015 + n. On a donc $u_0=50000$.

1. 1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.

      Pour tout entier natuel n, $$u_{n+1}=\left(1-{\displaystyle \frac{4}{100}}\right)\times u_n=\mathrm{0,96}\times u_n$$

      Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,96}\times u_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,96}$.

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   2. Pour tout entier naturel n, exprimer $u_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,96}$ et de premier terme $u_0=50000$ donc :

      pour tout entier naturel n, $u_n=50000\times {\mathrm{0,96}}^n$

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2. 1. En 2020, la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura-t-elle diminué de 20 % ?

      La masse de polluants émise après une réduction de 20 % est égale à $50000\times \mathrm{0,8}=40000$ tonnes par an. Or $$u_5=50000\times {\mathrm{0,96}}^5\approx 40769$$

      En 2020, la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel n'aura pas diminué de 20 %.

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   2. On considère l'algorithme ci-dessous.
      Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie l'année à partir de laquelle la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura diminué d'au moins 20 %.

      variables N un entier naturel Q et U deux nombres réels

      initialisation N prend la valeur 0 Q prend la valeur 0,96 U prend la valeur 50000

      traitement Tant que $U>40000$ N prend la valeur $N+1$ U prend la valeur $U\times \mathrm{0,96}$ Fin Tant que

      sortie Afficher $2015+N$

3. 1. Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation $50000\times {\mathrm{0,96}}^n⩽30000$.

      $$\begin{array}{rcl}50000\times {\mathrm{0,96}}^n⩽30000& \iff & {\mathrm{0,96}}^n⩽{\displaystyle \frac{30000}{50000}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,96}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,6}& \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,96}⩽\ln \mathrm{0,6}& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,6}}{\ln \mathrm{0,96}}}& \ln \mathrm{0,96}<0\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,6}}{\ln \mathrm{0,96}}}\approx \mathrm{12,5}$ alors :

      le plus petit entier n solution de l'inéquation $50000\times {\mathrm{0,96}}^n⩽30000$ est 13.

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   2. À partir de quelle année, la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura diminué d'au moins 40 % ?

      On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :$$\begin{array}{ccc}{u}_n⩽50000\times \mathrm{0,6}& \iff & 50000\times {\mathrm{0,96}}^n⩽30000\end{array}$$

      C'est à partir de 2028, que la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura diminué d'au moins 40 %

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