contrôles en terminale STI2D

contrôle du 16 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

proposition 1 : $\ln 10 000 - \ln 0,1 + \ln 0,01 = 3 \ln 10$ .
$\begin{array}{rclcrcl} \ln 10 000 - \ln 0,1 + \ln 0,01 & = & \ln 10^{4} - \ln 10^{- 1} + \ln 10^{- 2} \\ = & 4 \ln 10 + \ln 10 - 2 \ln 10 \\ = & 3 \ln 10 \end{array}$
ou bien $\begin{array}{rcl} \ln 10 000 - \ln 0,1 + \ln 0,01 & = & \ln (\frac{10 000}{0,1} \times 0,01) \\ = & \ln 1000 \\ = & \ln 10^{3} \\ = & 3 \ln 10 \end{array}$
Ainsi, $\ln 10 000 - \ln 0,1 + \ln 0,01 = 3 \ln 10$ . La proposition 1 est vraie.
proposition 2 : La solution de l'équation $2 \ln x = 1$ est $\frac{e}{2}$ .
Pour tout réel x strictement positif, $\begin{array}{rcl} 2 \ln x = 1 & \Leftrightarrow & 2 \ln x = \ln e \\ \Leftrightarrow & \ln x = \frac{1}{2} \ln e \\ \Leftrightarrow & \ln x = \ln \sqrt{e} \\ \Leftrightarrow & x = \sqrt{e} \end{array}$
La proposition 2 est fausse.
proposition 3 : L'équation $2 \ln x = \ln (4 x - 3)$ admet une seule solution $x = 1$ .
L'équation $2 \ln x = \ln (4 x - 3)$ est définie pour $x > 0$ et, $4 x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{4}$ .
Pour tout réel $x > \frac{3}{4}$ , $\begin{array}{rcl} 2 \ln x = \ln (4 x - 3) & \Leftrightarrow & \ln (x^{2}) = \ln (4 x - 3) \\ \Leftrightarrow & x^{2} = 4 x - 3 \\ \Leftrightarrow & x^{2} - 4 x + 3 = 0 \end{array}$
On cherche les solutions de l'équation $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ appartenant à l'intervalle $] \frac{3}{4}; + \infty [$ .
Le discriminant du trinôme est $Δ = 16 - 12 = 9$ . L'équation $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ admet deux solutions : $\begin{matrix} x_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1 & et & x_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \end{matrix}$
Comme ces deux solutions appartiennent à l'intervalle $] \frac{3}{4}; + \infty [$ , on en déduit que :
l'équation $2 \ln x = \ln (4 x - 3)$ admet deux solutions donc la proposition 3 est fausse.
proposition 4 : L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln (\frac{1}{x}) - \ln (x) ⩾ 0$ est l'intervalle $] 0; 1]$ .
Pour tout réel x strictement positif, $\begin{array}{rcl} \ln (\frac{1}{x}) - \ln (x) ⩾ 0 & \Leftrightarrow & - \ln (x) - \ln (x) ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 \ln (x) ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & \ln (x) ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & x \in] 0; 1] \end{array}$
La proposition 4 est vraie.
proposition 5 : La fonction F définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \ln (x^{3}) - 2$ est une primitive de la fonction f définie par $f (x) = \frac{3}{x}$ .
Les primitives de la fonction f sont les fonctions définies pour tout réel x strictement positif par $F (x) = 3 \ln (x) + C = \ln (x^{3}) + C$ où C est un réel.
La proposition 5 est vraie.

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