La courbe tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur .
Les points A et B sont deux points de la courbe .
La tangente à la courbe au point B d'abscisse est horizontale.
Résoudre graphiquement sur l'intervalle l'inéquation .
Le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle est :
x | 1 | ||||
Variations de f |
La fonction f est décroissante sur l'intervalle par conséquent, sur l'intervalle , l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle .
Donner l'équation de la tangente à la courbe au point A de coordonnées en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées .
Une équation de la tangente 𝒟 passant par les points de coordonnées et est :
La tangente 𝒟 à la courbe au point A de coordonnées a pour équation .
En déduire le nombre dérivé .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente 𝒟 à la courbe au point A d'abscisse d'où
Soit F une primitive de la fonction fonction f.
Donner le tableau de variation de la fonction F.
F est une primitive de la fonction f donc pour tout réel x, on a . Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f.
x | − ∞ | ||||
Signe de | − | + | |||
Variations de F |
Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction F.
En justifiant votre réponse, déterminer la courbe associée à la fonction F. En déduire une valeur approchée, à l'unité d'aire près, de l'aire du domaine hachuré.
Courbe | Courbe | Courbe |
D'après le tableau de variation de la fonction F, la courbe ne convient pas.
Sur l'intervalle la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle .
Par lecture graphique sur la courbe , l'image de 4 est égale à 3 et l'image de est égale à ce qui donnerait une aire égale à . Or l'aire du domaine hachuré est visiblement supérieure à 5 unités d'aire donc la courbe ne peut pas représenter la fonction F.
La courbe est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction F. L'aire du domaine hachuré est égale à soit environ 9 unités d'aire.
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