contrôles en terminale STI2D

contrôle du du 31 mars 2017

Corrigé de l'exercice 1

La courbe Cf tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les points A et B sont deux points de la courbe Cf.
La tangente à la courbe Cf au point B d'abscisse (-2) est horizontale.

  1. Résoudre graphiquement sur l'intervalle [-5;1] l'inéquation f(x)0.

    Le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [-5;1] est :

    x-5-21

    Variations de f

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La fonction f est décroissante sur l'intervalle [-2;1] par conséquent, sur l'intervalle [-5;1], l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)0 est l'intervalle [-2;1].


    1. Donner l'équation de la tangente 𝒟 à la courbe Cf au point A de coordonnées (-4;0) en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées (-3;2).

      Une équation de la tangente 𝒟 passant par les points de coordonnées (-4;0) et (-3;2) est :y=2-0-3+4×(x+4)+0y=2x+8

      La tangente 𝒟 à la courbe Cf au point A de coordonnées (-4;0) a pour équation y=2x+8.


    2. En déduire le nombre dérivé f(-4).

      Le nombre dérivé f(-4) est égal au coefficient directeur de la tangente 𝒟 à la courbe Cf au point A d'abscisse -4 d'où f(-4)=2


  2. Soit F une primitive de la fonction fonction f.

    1. Donner le tableau de variation de la fonction F.

      F est une primitive de la fonction f donc pour tout réel x, on a F(x)=f(x). Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f.

      x− ∞-4+
      Signe de f(x)0||+

      Variations de F

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction F.
      En justifiant votre réponse, déterminer la courbe associée à la fonction F. En déduire une valeur approchée, à l'unité d'aire près, de l'aire du domaine hachuré.

      Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
      Courbe C1Courbe C2Courbe C3
      • D'après le tableau de variation de la fonction F, la courbe C3 ne convient pas.

      • Sur l'intervalle [-3;4] la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-3 et x=4 est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [-3;4]. -34f(x)dx=F(4)-F(-3)

        Par lecture graphique sur la courbe C1, l'image de 4 est égale à 3 et l'image de -3 est égale à -2 ce qui donnerait une aire égale à 3-(-2)=5. Or l'aire du domaine hachuré est visiblement supérieure à 5 unités d'aire donc la courbe C1 ne peut pas représenter la fonction F.

      La courbe C2 est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction F. L'aire du domaine hachuré est égale à F(4)-F(-3)5-(-4) soit environ 9 unités d'aire.



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