contrôle du du 31 mars 2017

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation : $\mathrm{i}z=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$.
   Exprimer la solution sous la forme algébrique.

   $$\begin{array}{rcl}\mathrm{i}z=-\sqrt{3}+\mathrm{i}& \iff & z={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{\left(-\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)\times \left(-\mathrm{i}\right)}{\mathrm{i}\times \left(-\mathrm{i}\right)}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2}{-{\mathrm{i}}^2}}\\ & \iff & z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}\end{array}$$

   L'équation : $\mathrm{i}z=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ a pour solution $z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$.

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2. Soient A, B et C les points dont les affixes respectives sont $z_A=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, $z_B=-z_A$ et $z_C={z_A}^2$.

   1. Déterminer une écriture exponentielle de $z_B$ et $z_C$.

      • $z_B=-z_A$ donc $\left|z_B\right|=\left|z_A\right|=2$ et $\arg \left(z_B\right)=\arg \left(z_A\right)+\pi \left[2\pi \right]$ soit $\arg \left(z_B\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi \left[2\pi \right]=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\left[2\pi \right]$

        Ainsi, $z_B=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$.

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      • $z_C={z_A}^2$ donc $z_C=4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$.

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   2. Donner l'écriture algébrique de $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

      • $$z_A=2\times \left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=2\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$$

        $z_A=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$.

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      • $z_B=-z_A$ donc $z_B=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.

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      • $$z_C=4\times \left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}$$

        $z_C=-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}$.

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   3. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

   4. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

      Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ soit : $$z_{\overrightarrow{AB}}=\left(-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)-\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=-2-2\sqrt{3}\mathrm{i}$$

      Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A$ soit : $$z_{\overrightarrow{AC}}=\left(-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}\right)-\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=-3+\sqrt{3}\mathrm{i}$$

      Dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ le produit scalaire $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$ est : $$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\left(-2\right)\times \left(-3\right)+\left(-2\sqrt{3}\right)\times \sqrt{3}=0$$

      Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$ donc ABC est un triangle rectangle en A.

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3. Soit D le point d'affixe $z_D={\displaystyle \frac{8}{z_A}}$. Montrer que $z_D=-z_C$. En déduire la nature du quadrilatère ACBD.

   • $z_D={\displaystyle \frac{8}{z_A}}={\displaystyle \frac{8}{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}}}=4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$. Ainsi, $\left|z_C\right|=\left|z_D\right|$ et $\arg \left(z_C\right)=\arg \left(z_D\right)+\pi \left[2\pi \right]$ donc $z_D=-z_C$.

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   • $z_B=-z_A$ et $z_D=-z_C$ donc les points A et B ainsi que les points C et D sont symétriques par rapport au point O.

     Le quadrilatère ACBD dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.

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