contrôle du du 31 mars 2017

Corrigé de l'exercice 3

partie a : Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par la relation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x$.

1. Déterminer les limites de f en $+\infty$ et en $-\infty$.

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$ donc par somme des limites, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x=+\infty$.

   • Pour tout réel $x\ne 0$ on pose $-\mathrm{0,5}x=X$ alors $${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x={\mathrm{e}}^X-2X=X\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^X}{X}}-2\right)$$

     D'où $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x=\underset{X\to +\infty }{\lim }X\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^X}{X}}-2\right)$. Comme $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^X}{X}}=+\infty$ on obtient, $\underset{X\to +\infty }{\lim }X\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^X}{X}}-2\right)=+\infty$.

   Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et étudier son signe sur $ℝ$.

      Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+1$ et , $$\begin{array}{rcl}-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+1⩽0& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}⩾2\\ & \iff & -\mathrm{0,5}x⩾\ln 2\\ & \iff & x⩽-2\ln 2\end{array}$$

      On en déduit le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      x	− ∞		$-2\ln 2$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur $ℝ$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	− ∞		$-2\ln 2$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	$+\infty$		$2-2\ln 2\approx \mathrm{0,61}$		$+\infty$

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3. Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$. Donner une valeur arrondie à 10^-2 près de chaque solution.

   Sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone, l'équation $f\left(x\right)=2$ admet une solution.

   Par conséquent, l'équation $f\left(x\right)=2$ amet deux solutions ${\alpha }_1\in \left]-\infty ;-2\ln 2\right]$ et ${\alpha }_2\in \left[-2\ln 2;+\infty \right[$.

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   Les valeurs arrondies à 10^-2 près des deux solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$, obtenues à la calculatrice, sont ${\alpha }_1\approx -\mathrm{3,36}$ et ${\alpha }_2\approx \mathrm{1,54}$.

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4. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ représentative de la fonction f au point A d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)={\mathrm{e}}^0=1$ et $f\prime \left(0\right)=1-\mathrm{0,5}\times {\mathrm{e}}^0={\displaystyle \frac{1}{2}}$. On en déduit que :

   la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 0 a pour équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$.

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partie b : Calcul d'aire

La courbe $C_f$ est représentée en annexe avec la droite T. On admet que la courbe $C_f$ se situe « au-dessus » de la droite T.
L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire 𝒜 comprise entre la courbe $C_f$, la droite T et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$.

1. Hachurer sur le dessin, en annexe, l'aire 𝒜 que l'on veut déterminer.

2. 1. Déterminer une primitive de la fonction g définie pour tout réel x, par $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+{\displaystyle \frac{x}{2}}-1$.

      Pour tout réel x, $$g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+{\displaystyle \frac{x}{2}}-1=-2\times \left(-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+{\displaystyle \frac{x}{2}}-1$$

      Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x$.

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   2. Justifier que l'aire 𝒜 recherchée vaut, en unité d'aire : $𝒜={\displaystyle {\int }_0^{4}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      La courbe $C_f$ se situe « au-dessus » de la tangente T sur $ℝ$ par conséquent, l'aire 𝒜, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, la droite T et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$ est égale à :$$\begin{array}{rcl}𝒜& =& {\displaystyle {\int }_0^4\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^4\left({\displaystyle \frac{1}{2}}x+1\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {\int }_0^4\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-1\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {\int }_0^4\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+{\displaystyle \frac{x}{2}}-1\right)\mathrm{d}x}\end{array}$$

      Ainsi, $𝒜={\displaystyle {\int }_0^{4}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

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   3. En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à 10^-2 de 𝒜.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{4}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& G\left(4\right)-G\left(0\right)\\ & =& \left(-2{\mathrm{e}}^{-2}+4-4\right)-\left(-2{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& 2-2{\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

      $𝒜=2-2{\mathrm{e}}^{-2}$ soit environ 1,73 unités d'aire.

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