contrôle du du 12 mai 2017

Corrigé de l'exercice 1

On considère que la durée de vie T d'un appareil, exprimée en années, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,125}$.

1. Calculer l'espérance $E\left(T\right)$ de la variable aléatoire T. Interpréter ce résultat.

   L’espérance mathématique d’une variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,125}$ est le réel $$E\left(T\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,125}}}=8$$

   $E\left(T\right)=8$. La durée de vie moyenne d'un appareil est de 8 ans.

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2. Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie inférieure à 8 ans.

   La probabilité que la durée de vie d'un appareil soit inférieure à 8 ans est : $$P\left(T⩽8\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,125}\times 8}=1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,632}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité que l'appareil ait une durée de vie inférieure à 8 ans est 0,632.

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3. Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

   La probabilité que la durée de vie d'un appareil soit supérieure à 10 est : $$P\left(T⩾10\right)=1-P\left(T⩽10\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,125}\times 10}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,25}}\approx \mathrm{0,287}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est 0,287.

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4. Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie comprise entre 6 ans et 10 ans.

   $$P\left(6⩽T⩽10\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,125}\times 6}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,125}\times 10}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,75}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,25}}\approx \mathrm{0,186}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité que l'appareil ait une durée de vie comprise entre 6 ans et 10 ans est 0,186.

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