contrôle du du 12 mai 2017

Corrigé de l'exercice 2

Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles.
La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle X.
On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $\mu =500$ et d'écart type $\sigma =2$.
On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

1. Déterminer $P\left(X⩽496\right)$. Donner le résultat arrondi à ${10}^{-2}$ près.

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩽496\right)& =& P\left(X⩽500\right)-P\left(496⩽X⩽500\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(496⩽X⩽500\right)\approx \mathrm{0,023}\end{array}$$

   $P\left(X⩽496\right)\approx \mathrm{0,02}$.

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2. Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres. Donner le résultat arrondi à ${10}^{-2}$ près.

   Avec la calculatrice, on a :$$P\left(496⩽X⩽500\right)\approx \mathrm{0,43}$$

   La probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres est 0,43.

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3. Comment choisir la valeur de α afin que $P\left(500-\alpha ⩽X⩽500+\alpha \right)$ soit approximativement égale à 0,95 à ${10}^{-2}$ près.

   Deux réponses possibles sont admises en fonction du choix de la formule utilisée :

   • D'après le cours, si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors, $P\left(\mu -2\sigma ⩽X⩽\mu +2\sigma \right)\approx \mathrm{0,954}$.

     Il suffit de choisir $\alpha =4$ afin que $P\left(500-\alpha ⩽X⩽500+\alpha \right)$ soit approximativement égale à 0,95 à ${10}^{-2}$ près.

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   • D'après le cours, si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors, $P\left(\mu -\mathrm{1,96}\sigma ⩽X⩽\mu +\mathrm{1,96}\sigma \right)\approx \mathrm{0,95}$.

     Il suffit de choisir $\alpha =\mathrm{1,96}\times 2=\mathrm{3,92}$ afin que $P\left(500-\alpha ⩽X⩽500+\alpha \right)$ soit approximativement égale à 0,95 à ${10}^{-2}$ près.

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