contrôle du du 12 mai 2017

Corrigé de l'exercice 3

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des batteries Lithium-ion pour smartphone.

partie a

Le nombre de cycles de charge d'une batterie est appelé durée de vie de la batterie.
La durée de vie des batteries Lithium-ion mises en vente par cette entreprise est modélisée par la variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne $\mu =600$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{74,6}$.

1. La fonction densité associée à X est représentée sur un seul de trois graphiques ci-dessous. Quel est ce graphique ? Expliquer le choix.

   • La courbe associée à la loi normale de moyenne $\mu =600$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=600$ donc le graphique 3 ne convient pas.

   • X suit la loi normale de moyenne $\mu =600$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{74,6}$ d'où $P\left(600-\mathrm{74,6}⩽X⩽600+\mathrm{74,6}\right)\approx \mathrm{0,683}$. Soit $P\left(\mathrm{525,4}⩽X⩽\mathrm{674,6}\right)\approx \mathrm{0,683}$ donc le graphique 2 ne convient pas.

   Graphique 1	Graphique 2	Graphique 3

   Le courbe du graphique 1 est la seule des trois courbes susceptible d'être associée à la loi normale de moyenne $\mu =600$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{74,6}$.

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2. 1. Déterminer $P\left(550⩽X⩽1000\right)$.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(550⩽X⩽1000\right)\approx \mathrm{0,749}$.

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   2. Quelle est la probabilité que la durée de vie d'une batterie soit inférieure à 500 cycles de charge ?

      La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale : $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩽500\right)& =& P\left(X⩽600\right)-P\left(500⩽X⩽600\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(500⩽X⩽600\right)\\ & \approx & \mathrm{0,09}\end{array}$$

      La probabilité, arrondie au centième près, que que la durée de vie d'une batterie soit inférieure à 500 cycles de charge est 0,09.

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partie b

Le service commercial affirme que 91 % des batteries proposées à la vente ont une durée de vie supérieure à 500 cycles de charge.
Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant a reconstitué la vie de 100 batteries en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer leur durée de vie en fonction de différents facteurs.
Sur ce lot, on a constaté que 13 batteries ont eu une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge.

Le résultat de ce test remet-il en question l'affirmation du service commercial ?

• La fréquence observée des batteries ayant une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{13}{100}}=\mathrm{0,13}$

• Soit $p=\mathrm{0,09}$ la probabilité qu'une batterie ait une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge. Comme $n=100$, $n\times p=9$ et $n\times \left(1-p\right)=91$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,09}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}\times \mathrm{0,91}}{100}}};\mathrm{0,09}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}\times \mathrm{0,91}}{100}}}\right]\end{array}$$

  Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des des batteries ayant une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge dans un échantillon de 100 batteries est $I=\left[\mathrm{0,033};\mathrm{0,147}\right]$.

La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, le résultat de ce test ne remet pas en question l'affirmation du service commercial.

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