contrôle du 22 décembre 2012

Corrigé de l'exercice 1

1. Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction f sur $ℝ$.

   x	$-\infty$		4		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			3,2

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2. Déterminer $f\prime \left(-2\right)$, $f\prime \left(4\right)$ et $f\prime \left(1\right)$

   • La courbe $C_f$ admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points $A\left(-2;0\right)$ et $C\left(4;\mathrm{3,2}\right)$ donc $f\prime \left(-2\right)=0$ et $f\prime \left(4\right)=0$.

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $B\left(1;1\right)$. Or cette droite passe par le point $M\left(-4;-3\right)$ d'où $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{y_M-y_B}{x_M-x_B}}& \text{Soit}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-3-1}{-4-1}}={\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}$$

     Ainsi, $f\prime \left(1\right)=\mathrm{0,8}$

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3. Quel est l'ensemble solution de l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩾0$ ?

   La fonction f est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;4\right]$ et, n'admet pas de tangente parallèle à l'axe des abscisses quand $x>0$ donc

   L'ensemble S solution de l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩾0$ est $S=\left]-\infty ;4\right]$.

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4. On donne $f\prime \left(\mathrm{5,5}\right)=-\mathrm{2,5}$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la tangente à la courbe $C_f$ au point D avec l'axe des ordonnées.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point $D\left({\displaystyle \frac{11}{2}};{\displaystyle \frac{25}{16}}\right)$ a pour équation : $$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)\times \left(x-{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)& \text{Soit}& y=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\times \left(x-{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)+{\displaystyle \frac{25}{16}}\iff y=-{\displaystyle \frac{5}{2}}x+{\displaystyle \frac{245}{16}}\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_f$ au point D coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{245}{16}}\right)$.

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5. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$. Déterminer laquelle.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

   Sur l'intervalle $\left]-\infty ;4\right]$ la fonction f est croissante donc pour tout réel $x⩽4$, on a $f\prime \left(x\right)⩾0$.

   La courbe $C_3$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction $f\prime$.

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