contrôle du 22 décembre 2012

exercice 1

Soit f une fonction définie et déivable sur $ℝ$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

On donne ci-dessous la courbe $C_f$ représentant la fonction f.

• La courbe $C_f$ passe par les points $A\left(-2;0\right)$, $B\left(1;1\right)$, $C\left(4;\mathrm{3,2}\right)$ et $D\left({\displaystyle \frac{11}{2}};{\displaystyle \frac{25}{16}}\right)$
• L'axe des abscisses est tangent en A à la courbe $C_f$
• La courbe $C_f$ admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C.
• La tangente à la courbe au point B passe par le point $M\left(-4;-3\right)$.

À partir du graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes.

1. Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction f sur $ℝ$.

2. Déterminer $f\prime \left(-2\right)$, $f\prime \left(4\right)$ et $f\prime \left(1\right)$

3. Quel est l'ensemble solution de l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩾0$ ?

4. On donne $f\prime \left(\mathrm{5,5}\right)=-\mathrm{2,5}$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la tangente à la courbe $C_f$ au point D avec l'axe des ordonnées.

5. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$. Déterminer laquelle.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

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exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+1}{x^2-2x+5}}$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. Calculer la dérivée de la fonction f. Vérifier que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2-2x+12}{{\left(x^2-2x+5\right)}^2}}$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum)

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.
   Représenter la tangente T sur le graphique ci-dessous.

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exercice 3

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ par $f\left(x\right)=2\sin x-\sin \left(2x\right)$.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Résoudre dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ l'équation $f\prime \left(x\right)=0$.

   3. On donne ci-dessous, la représentation graphique de la fonction dérivée $f\prime$ sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$.
      À l'aide du graphique, déterminer le signe de $f\prime \left(x\right)$.

2. Donner le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ représentative de la fonction f au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
   Tracer la droite T dans le repère précédent.

4. Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ dans le repère précédent.

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