contrôle du 22 décembre 2012

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ par $f\left(x\right)=2\sin x-\sin \left(2x\right)$.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ par $f\prime \left(x\right)=2\cos x-2\cos \left(2x\right)$

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   2. Résoudre dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ l'équation $f\prime \left(x\right)=0$.

      $$\begin{array}{ccccc}2\cos x-2\cos \left(2x\right)=0& \iff & \cos x=\cos \left(2x\right)\hfill & & \\ & \iff & 2x=x+2k\pi \hfill & \text{ou}& 2x=-x+2k\pi \hfill \\ & \iff & x=2k\pi \hfill & \text{ou}& 3x=2k\pi \hfill \\ & \iff & x=2k\pi \hfill & \text{ou}& x={\displaystyle \frac{2k}{3}}\pi \hfill \end{array}$$

      Soit en choisissant $k=0$, $k=1$ ou $k=-1$ on obtient $x=0$, $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

      L'ensemble S solution de l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}};0;{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right\}$.

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   3. On donne ci-dessous, la représentation graphique de la fonction dérivée $f\prime$ sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$.
      À l'aide du graphique, déterminer le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      D'après sa courbe représentative, le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x est :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$		${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

2. Donner le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

   x	− π		$-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$		${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$		π
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−
   Variations de f			$-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$		${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$

   calcul des extremum :

   • La fonction f admet un minimum relatif pour $x=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ et $$f\left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=2\sin \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)-\sin \left(-{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)=-\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$$

   • La fonction f admet un maximum relatif pour $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ et $$f\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=2\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)-\sin \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)=\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$$

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ représentative de la fonction f au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
   Tracer la droite T dans le repère précédent.

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ a pour équation : $$y=f\prime \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\times \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)+f\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=2\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)-\sin \left(-\pi \right)=-2& \text{et}& f\prime \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=2\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)-2\cos \left(-\pi \right)=2\end{array}$$

   D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=2\times \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)-2& \iff & y=2x+\pi -2\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ a pour équation $y=2x+\pi -2$

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4. Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ dans le repère précédent.

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