contrôle du 20 avril 2013

Corrigé de l'exercice 1

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Le discriminant du polynôme $P\left(x\right)=x^2+x+6$ est : $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1^2-4\times 1\times 6=-23\end{array}$. $\mathrm{\Delta }<0$ donc pour tout réel x, $x^2+x+6>0$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=3-7x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-7\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+x+6& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x+1\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-7\times \left(x^2+x+6\right)-\left(2x+1\right)\times \left(3-7x\right)}{{\left(x^2+x+6\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-7x^2-7x-42-6x+14x^2-3+7x}{{\left(x^2+x+6\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{7x^2-6x-45}{{\left(x^2+x+6\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{7x^2-6x-45}{{\left(x^2+x+6\right)}^2}}$.

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2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$. En déduire le tableau des variations de f.

   Pour tout réel x, ${\left(x^2+x+6\right)}^2>0$. Par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $7x^2-6x-45$ avec $a=7$, $b=-6$ et $c=-45$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-6\right)}^2-4\times 7\times \left(-45\right)=1296={36}^2\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{6-36}{14}}=-{\displaystyle \frac{15}{7}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{6+36}{14}}=3\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{15}{7}}$		3		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{15}{7}}$		3		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+
   Variations de f			${\displaystyle \frac{49}{23}}$		$-1$

   calcul des extremum :

   • La fonction f admet un maximum relatif pour $x=-{\displaystyle \frac{15}{7}}$ :$$f\left(-{\displaystyle \frac{15}{7}}\right)={\displaystyle \frac{3+15}{{\displaystyle \frac{225}{49}}-{\displaystyle \frac{15}{7}}+6}}={\displaystyle \frac{49}{23}}$$

   • La fonction f admet un minimum relatif pour $x=3$ : $$f\left(3\right)={\displaystyle \frac{3-21}{9+3+6}}=-1$$

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 et la tracer sur le graphique.

   La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$. Or $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& f\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{45}{36}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}$$

   La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{5}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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   La droite T passe par les points de coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ et $\left(1;-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)$.

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