contrôle du 20 avril 2013

Corrigé de l'exercice 2

1. Écrire sous la forme algébrique $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants :

   • $z_1=\left(2+3\mathrm{i}\right)\left(3-2\mathrm{i}\right)$

     $$\begin{array}{rcl}\left(2+3\mathrm{i}\right)\left(3-2\mathrm{i}\right)& =& 6-4\mathrm{i}+9\mathrm{i}-6{\mathrm{i}}^2\\ & =& 6+5\mathrm{i}+6\\ & =& 12+5\mathrm{i}\end{array}$$

     Ainsi, $z_1=12+5\mathrm{i}$.

     ---

   • $z_2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-\mathrm{i}}}$

     $$\begin{array}{rclll}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-\mathrm{i}}}& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\mathrm{i}}{2-{\mathrm{i}}^2}}& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\mathrm{i}}{3}}\end{array}$$

     Ainsi, $z_2={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{i}$.

     ---

   • $z_3={\displaystyle \frac{3+2\mathrm{i}}{1-4\mathrm{i}}}$

     $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{3+2\mathrm{i}}{1-4\mathrm{i}}}& =& {\displaystyle \frac{\left(3+2\mathrm{i}\right)\left(1+4\mathrm{i}\right)}{1-16{\mathrm{i}}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3+12\mathrm{i}+2\mathrm{i}+8{\mathrm{i}}^2}{17}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-5+14\mathrm{i}}{17}}\end{array}$$

     Ainsi, $z_3=-{\displaystyle \frac{5}{17}}+{\displaystyle \frac{14}{17}}\mathrm{i}$.

     ---

   • $z_4=2\left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$

     $$\begin{array}{rcl}2\left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)& =& 2\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\end{array}$$

     Ainsi, $z_4=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$.

     ---

2. Écrire sous la forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

   • $z_5=-2+2\mathrm{i}$

     Le module du nombre complexe $z_5=-2+2\mathrm{i}$ est : $$\left|z_5\right|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

     Un argument θ du nombre complexe $z_5$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$. D'où $z_5$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$

     $z_5=2\sqrt{2}\times \left(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)$.

     ---

   • $z_6=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$

     Le module du nombre complexe $z_6=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est : $$\left|z_6\right|=\sqrt{3+1}=2$$

     Un argument θ du nombre complexe $z_6=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$. D'où $z_6$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

     $z_6=2\left(\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)$.

     ---

   • $z_7=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$

     Le module du nombre complexe $z_7=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ est : $$\left|z_7\right|=\sqrt{1+3}=2$$

     Un argument θ du nombre complexe $z_7=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$. D'où $z_7$ a pour argument $\mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

     $z_7=2\left(\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\right)$.

     ---

   • $z_8=\mathrm{i}\sqrt{3}$

     $z_8=\mathrm{i}\sqrt{3}$ est un imaginaire pur de partie imaginaire $\sqrt{3}$. D'où $z_8=\sqrt{3}\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$.

     ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2011 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Second degré : FonctionsSecond degré : Équation, inéquationSecond degré : ApplicationsFonctions associéesTrigonométrieFonctions circulairesDérivéeDérivée : Lecture graphiqueDérivée et variation : Étude de fonctionSuitesProduit scalaireNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.