contrôle du 20 avril 2013

Corrigé de l'exercice 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2 cm.

1. Soit A le point d'affixe le nombre complexe $z_A$ de module ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ d'argument $-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Donner la forme algébrique de $z_A$.

   $$z_A={\displaystyle \frac{3}{2}}\left(\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}\right)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{i}$$

   $z_A={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{i}$.

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2. Soit B le point d'affixe $z_B=\sqrt{3}+\mathrm{i}$. Calculer le module et un argument de $z_B$.

   Le module du nombre complexe $z_B=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est : $$\left|z_B\right|=\sqrt{3+1}=2$$

   Un argument θ du nombre complexe $z_B$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$. D'où $z_B$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   $z_B$ est le nombre complexe de module 2 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

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3. Soit C le point d'affixe $z_C={\displaystyle \frac{4\mathrm{i}}{\stackrel{—}{z_B}}}$ où $\stackrel{—}{z_B}$ est le conjugué de $z_B$.

   1. Donner une forme algébrique de $z_C$.

      $$\begin{array}{rcl}{z}_C={\displaystyle \frac{4\mathrm{i}}{\stackrel{—}{z_B}}}& \iff & z_C={\displaystyle \frac{4\mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}}\\ & \iff & z_C={\displaystyle \frac{4\mathrm{i}\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)}{\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)}}\\ & \iff & z_C={\displaystyle \frac{4\mathrm{i}\sqrt{3}+4{\mathrm{i}}^2}{3+1}}\\ & \iff & z_C={\displaystyle \frac{-4+4\sqrt{3}\mathrm{i}}{4}}\end{array}$$

      $z_C=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$.

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   2. En déduire le module et un argument de $z_C$.

      Le module du nombre complexe $z_C=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ est : $$\left|z_C\right|=1+\sqrt{3}=2$$

      Un argument θ du nombre complexe $z_C$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$. D'où $z_C$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

      $z_C$ est le nombre complexe de module 2 et d'argument ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

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4. Placer les points A, B et C dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

   • A est le point du cercle de centre O de rayon 1,5 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}A}\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
   • B est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}B}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
   • C est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}C}\right)={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

5. Le triangle ABC est-il rectangle en B ?

   Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$.

   • Les points A, B et C ont pour affixes respectives $z_A={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{i}$, $z_B=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ et $z_C=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$.
     Par conséquent, les points A, B et C ont pour coordonnées $A\left({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}};-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)$, $B\left(\sqrt{3};1\right)$ et $C\left(-1;\sqrt{3}\right)$.
   • Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AB}\left(\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}};1+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)$ soit $\overrightarrow{AB}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}};{\displaystyle \frac{7}{4}}\right)$ et, le vecteur $\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{BC}\left(-1-\sqrt{3};\sqrt{3}-1\right)$.
   • Donc $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\times \left(-1-\sqrt{3}\right)+{\displaystyle \frac{7}{4}}\times \left(\sqrt{3}-1\right)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}-5}{2}}$$

   $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\ne 0$ par conséquent, les droites (AB) et (BC) ne sont pas perpendiculaires. Donc le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

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