contrôle du 30 septembre 2014

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $2x^2=x+3$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}2x^2=x+3& \iff & 2x^2-x-3=0\end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2-x-3=0$ avec $a=2$, $b=-1$ et $c=-3$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\times 2\times \left(-3\right)=25\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-5}{4}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{1+5}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-1;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right\}$

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2. $2x^2-2x-1=0$.

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2-2x-1=0$ avec $a=2$, $b=-2$ et $c=-1$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 2\times \left(-1\right)=12\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-2\sqrt{3}}{2\times 2}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{2+2\sqrt{3}}{2\times 2}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\right\}$

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