contrôle du 30 septembre 2014

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

1. $-2x^2+5x+12⩾0$.

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=-2x^2+5x+12$ avec $a=-2$, $b=5$ et $c=12$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=5^2-4\times \left(-2\right)\times 12=121\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-5-11}{2\times \left(-2\right)}}=4\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-5+11}{2\times \left(-2\right)}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $P\left(x\right)=-2x^2+5x+12$ :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		4		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

   ---

   L'ensemble solution de l'inéquation $-2x^2+5x+12⩾0$ est l'intervalle $I=\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};4\right]$

   ---

2. $4x^2⩽4x+1$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}4x^2⩽4x+1& \iff & 4x^2-4x-1⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=4x^2-4x-1$ avec $a=4$, $b=-4$ et $c=-1$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-4\right)}^2-4\times 4\times \left(-1\right)=32\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{4-4\sqrt{2}}{2\times 4}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{4+4\sqrt{2}}{2\times 4}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $P\left(x\right)=4x^2-4x-1$ :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}}$		${\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

   ---

   L'ensemble solution de l'inéquation $4x^2-4x-1⩽0$ est l'intervalle $J=\left[{\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}};{\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right]$

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2011 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Second degré : FonctionsSecond degré : Équation, inéquationSecond degré : ApplicationsFonctions associéesTrigonométrieFonctions circulairesDérivéeDérivée : Lecture graphiqueDérivée et variation : Étude de fonctionSuitesProduit scalaireNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.