contrôle du 30 septembre 2014

Corrigé de l'exercice 3

1. Dans quel intervalle varie x ?

   M est un point du segment [AB] donc $x\in \left[0;6\right]$.

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2. 1. Montrer que $f\left(x\right)=2x^2-20x+84$.

      $f\left(x\right)$ est égal à la somme des aires du carré AMNP et du rectangle NICJ d'où : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)& =& x^2+\left(6-x\right)\times \left(14-x\right)\hfill \\ & =& x^2+84-6x-14x+x^2\hfill \\ & =& 2x^2-20x+84\hfill \end{array}$$

      f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\left(x\right)=2x^2-20x+84$.

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   2. Déterminer $g\left(x\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}g\left(x\right)& =& 6\times 14-f\left(x\right)\hfill \\ & =& 84-\left(2x^2-20x+84\right)\hfill \\ & =& -2x^2+20x\hfill \end{array}$$

      g est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $g\left(x\right)=-2x^2+20x$.

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3. Donner le tableau de variation des fonctions f et g.

   • f est une fonction polynôme du second degré avec $a=2$, $b=-20$ et $c=84$. Comme $a>0$, la fonction f admet un minimum. Le minimum est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $x={\displaystyle \frac{20}{4}}=5$

     Le tableau des variations de la fonction f est :

     x	0		5		6
     $f\left(x\right)$	84		34		36

   • g est une fonction polynôme du second degré avec $a=-2$, $b=20$ et $c=0$. Comme $a<0$, la fonction g admet un maximum. Le maximum est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $x=5$

     Le tableau des variations de la fonction g est :

     x	0		5		6
     $g\left(x\right)$	0		50		48

4. Déterminer la position du point M pour que l'aire de la partie hachurée soit égale à l'aire de la partie non hachurée.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & 2x^2-20x+84=-2x^2+20x\hfill \\ & \iff & 2x^2-20x+84+2x^2-20x=0\hfill \\ & \iff & 4x^2-40x+84=0\hfill \\ & \iff & x^2-10x+21=0\hfill \end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $x^2-10x+21=0$ avec $a=1$, $b=-10$ et $c=21$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-10\right)}^2-4\times 1\times 21=16\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{10-4}{2}}=3\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{10+4}{2}}=7\end{array}$$

   Comme 3 est la seule solution appartenant à l'intervalle $\left[0;6\right]$, on en déduit que :

   l'aire de la partie hachurée est égale à l'aire de la partie non hachurée pour $AM=3$ .

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5. Déterminer la position du point M pour que l'aire de la partie non hachurée soit inférieure ou égale au triple de l'aire du carré AMNP.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $$\begin{array}{ccc}g\left(x\right)⩽3x^2& \iff & -2x^2+20x⩽3x^2\hfill \\ & \iff & -5x^2+20x⩽0\hfill \\ & \iff & -5x\times \left(x-4\right)⩽0\hfill \end{array}$$

   Étudions le signe du produit $-5x\left(x-4\right)$ sur l'intervalle $\left[0;6\right]$

   x	0		4		6
   $-5x\left(x-4\right)$	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

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   L'aire de la partie non hachurée est inférieure ou égale au triple de l'aire du carré AMNP quand $4⩽AM⩽6$

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