sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. 1. Donner les valeurs de $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$, $f\left(-1\right)$, $f\left(1\right)$, $f\left(2\right)$ ainsi que la limite de f en $+\infty$.

      Dire que le point $M\left(x;y\right)$ est sur la courbe représentative de la fonction f signifie que $y=f\left(x\right)$.

      • Le point $J\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ est sur la courbe C alors, $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

        ---

      • Le point $K\left(-1;0\right)$ est sur la courbe C alors, $f\left(-1\right)=0$.

        ---

      • Le point $A\left(1;\mathrm{e}\right)$ est sur la courbe C alors, $f\left(1\right)=\mathrm{e}$.

        ---

      • Le point $B\left(2;2\right)$ est sur la courbe C alors, $f\left(2\right)=2$.

        ---

      La droite d'équation $y=1$ est asymptote à C en $+\infty$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$.

      ---

   2. Donner, en justifiant vos réponses, les nombres $f\prime \left(1\right)\text{ et }f\prime \left(2\right)$.

      • Graphiquement, le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1.

        Or la tangente à C au point $A\left(1;\mathrm{e}\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses.

        Donc $f\prime \left(1\right)=0$

        ---

      • Le nombre dérivé $f\prime \left(2\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 2.

        Or la tangente à C au point $B\left(2;2\right)$ passe par $T\left(4;0\right)$. Donc le coefficient directeur de la droite (BT) est égal à :$${\displaystyle \frac{0-2}{4-2}}=-1$$

        Ainsi, $f\prime \left(2\right)=-1$

        ---

2. Soit g la fonction définie par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ et Γ sa représentation graphique.

   1. Déterminer l'intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en − 1 et en $+\infty$.

      La fonction ln est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par conséquent, la fonction g est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive.

      La fonction g est définie sur l'intervalle $\mathrm{I}=\left[-1;+\infty \right[$

      ---

      Calculons les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition, à l'aide du théorème sur les limites des fonctions composées : u , v et f sont trois fonctions telles que $f=u\circ v$. α, m et $\ell$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.
      Si $\underset{x\to \alpha }{\lim }u\left(x\right)=m$ et $\underset{X\to m}{\lim }v\left(X\right)=\ell$ alors, $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)=\ell$.

      $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ et $\underset{X\to 1}{\lim }\ln \left(X\right)=0$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$.

      $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty \text{ et }\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$

      ---

      En déduire les asymptotes à la courbe Γ en précisant une équation pour chacune d'elles.

      $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ alors, la droite d'équation $x=-1$ est asymptote à la courbe Γ.

      ---

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ alors, la droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe Γ en $+\infty$.

      ---

   2. Exprimer $g\prime \left(x\right)$ à l'aide de $f\left(x\right)$ et $f\prime \left(x\right)$. En déduire le tableau de variations de g.

      g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln, d'après le théorème sur la dérivée de ln u : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $\ln \left(u\right)$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}$.

      ---

      Sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$ la fonction f est strictement positive. Par conséquent, le signe de la dérivée $g\prime$ est celui de $f\prime$. Ainsi, la fonction g a les mêmes variations que la fonction f

      D'où le tableau des variations de g :

      x	−1				1		$+\infty$
      Signe de g '				+	0	−
      Variations de g			$-\infty$		$\ln \left(\mathrm{e}\right)=1$		0

      ---

   3. Déterminer $g\left(2\right)\text{ et }g\prime \left(2\right)$ puis une équation de la tangente à Γ au point B′ d'abscisse 2.

      $\begin{array}{ccc}g\left(2\right)=\ln \left[f\left(2\right)\right]=\ln 2& \text{ et }& g\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(2\right)}{f\left(2\right)}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$.

      Une équation de la tangente à Γ au point B′ d'abscisse 2 est :$$\begin{array}{lll}y& =& g\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+g\left(2\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-2\right)+\ln 2\\ & =& -{\displaystyle \frac{x}{2}}+1+\ln 2\end{array}$$

      La tangente à Γ au point B′ d'abscisse 2 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1+\ln 2$.

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   Courbe Γ représentative de la fonction g

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