sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, A et B étant des évènements, $\overline{\mathrm{A}}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement A, $p\left(\mathrm{A}\right)$ la probabilité de A et $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{A}\right)$ la probabilité de A sachant que B est réalisé.

Une entreprise fabrique des appareils en grand nombre. Une étude statistique a permis de constater que 10% des appareils fabriqués sont défectueux.
L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces appareils avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 80% des appareils défectueux, mais il élimine également à tort 10% des appareils non défectueux. Les appareils non éliminés sont alors mis en vente.

On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l'évènement « l'appareil est défectueux » et V l'évènement « l'appareil est mis en vente ».

1. Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.

2. 1. Calculer $p\left(\mathrm{V}\cap \mathrm{D}\right)$ et $p\left(\mathrm{V}\cap \overline{\mathrm{D}}\right)$.

      En déduire que la probabilité qu'un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,83.

      Formule des probabilités totales :

      $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$

   2. Calculer la probabilité qu'un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux.

      Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement D sachant que l'évènement V est réalisé.

   3. Vérifier que $p_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{D}\right)\approx \mathrm{0,24}\times p\left(\mathrm{D}\right)$.

      Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d'acquérir un appareil défectueux suivant que l'entreprise applique ou non le test de contrôle.

3. Une entreprise décide d'appliquer le contrôle, tout en continuant à fabriquer le même nombre d'appareils. Elle fabriquait et vendait une quantité $q_0$ d'appareils au prix $p_0$.

   Les pourcentages demandés seront arrondis à l'unité.

   1. Quelle est, en fonction de $q_0$ la nouvelle quantité $q_1$ d'appareils mis en vente après contrôle ?

   2. De quel pourcentage la quantité vendue a-t-elle diminué ?

      La probabilité qu'un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est $p\left(\mathrm{V}\right)=\mathrm{0,83}$ .

   3. Quel doit être le nouveau prix $p_1$ (en fonction de $p_0$) pour que l'entreprise maintienne son chiffre d'affaires ?

      Quel est alors le pourcentage d'augmentation du prix de vente ?

      Une diminution de t% n'est pas compensée par une augmentation de t%.

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