Baccalauréat septembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la substance est éliminée par les reins. La quantité $q_{i}$ présente dans le sang ( $q_{i}$ en milligrammes) à l'instant $t_{i}$ ( $t_{i}$ en heures) a été mesurée par des prises de sang toutes les deux heures.

$t_{i}$ (heures)	0	2	4	6	8
$q_{i}$ (mg)	9,9	7,5	5,5	3,9	3

partie a - Modélisation par une fonction affine

Le nuage de points associé à la série $(t_{i}; q_{i})$ est représenté dans le repère orthogonal ci-dessous.

Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite D d'ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10⁻²) ; tracer la droite D sur la figure ci-dessus.

La droite D d'ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés a pour équation $q = - 0,87 t + 9,44$ .
En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, quelle estimation obtient-on de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures ? Qu'en pensez-vous ?

Si $t = 12$ l'estimation de la quantité de médicament présente dans le sang est : $\begin{matrix} - 0,87 \times 12 + 9,44 & = & - 1 \end{matrix}$

Une quantité négative de médicament présente dans le sang, n'est pas réaliste. Si le modèle est valable alors la substance injectée doit être éliminée en moins de 11 heures. Par contre, si on considère qu'il faut plus de 12 heures pour éliminer la substance alors le modéle proposé ne convient pas.

partie b - Recherche d'un modèle mieux adapté

Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point associé à la série $(t_{i}; q_{i})$ . Quel type d'ajustement l'allure de cette représentation permet-elle d'envisager ?

Les points du nuage semblent alignés. Or dans un repère semi-logarithmique, les droites sont les représentations graphiques de fonctions exponentielles $x \to k a^{x}$ .

On peut envisager un ajustement du nuage de points à l'aide d'une fonction exponentielle.
On pose $y_{i} = \ln q_{i}$ . Recopier et compléter le tableau ci-dessous (valeurs arrondies au centième) :

$t_{i}$ 0 2 4 6 8

$y_{i}$ 2,29 2,01 1,7 1,36 1,1
Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis au centième).

La droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis au centième) a pour équation $y = - 0,15 t + 2,30$ .
Montrer que l'expression de q en fonction de t obtenue à partir de cet ajustement est de la forme $q = a e^{- 0,15 t}$ où a est arrondi à l'unité et b au centième.

$y = \ln (q)$ et $y = - 0,15 t + 2,30$ alors : $\begin{array}{l} \ln (q) = - 0,15 t + 2,3 & \Leftrightarrow & q = e^{- 0,15 t + 2,3} \\ \Leftrightarrow & q = e^{- 0,15 t} \times e^{2,3} \end{array}$

Or $e^{2,3} \approx 9,97$ donc l'arrondi à l'unité de $e^{2,3}$ est 10.

Ainsi, l'expression de q en fonction de t obtenue à partir de cet ajustement est $q = 10 e^{- 0,15 t}$ .
Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur $[0; 15]$ par : $f (t) = 10 e^{- 0,15 t}$ . Tracer sa courbe représentative C sur la figure de la partie A.

La fonction $t \mapsto - 0,15 t$ est strictement décroissante sur $[0; 15]$ , d'après le théorème sur les variations d'une fonction composée, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ℝ$ :
la fonction $t \mapsto e^{- 0,15 t}$ est strictement décroissante sur $[0; 15]$ .

D'autre part, la fonction $X \to 10 X$ est strictement croissante sur $ℝ$ donc

la fonction f définie sur $[0; 15]$ par : $f (t) = 10 e^{- 0,15 t}$ est strictement décroissante.
On suppose que ce nouveau modèle reste valable pendant 12 heures. Calculer à 10⁻¹ près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures. Placer le point correspondant sur le graphique.

$\begin{array}{l} f (12) & = & 10 e^{- 0,15 \times 12} \\ = & 10 e^{- 1,8} \\ \approx & 1,653 \end{array}$

Arrondie à 10⁻¹ près, la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures est de 1,7 mg.

partie c

Calculer $\frac{f (t + 1) - f (t)}{f (t)}$ . Interpréter le résultat par une phrase concernant le pourcentage de variation de la quantité de médicament présente dans le sang.

$\begin{array}{l} \frac{f (t + 1) - f (t)}{f (t)} & = & \frac{10 e^{- 0,15 (t + 1)} - 10 e^{- 0,15 t}}{10 e^{- 0,15 t}} \\ = & \frac{10 e^{- 0,15 t} \times (e^{- 0,15} - 1)}{10 e^{- 0,15 t}} \\ = & e^{- 0,15} - 1 \end{array}$

Or $e^{- 0,15} - 1 \approx - 0,1393$ .

La quantité de médicament présente dans le sang diminue de 13,93% par heure.
Le médicament reste efficace tant que la quantité présente dans le sang reste supérieure à 2 mg. Déterminer graphiquement, à 1 heure près par défaut, la durée d'efficacité de l'injection.

Graphiquement, la courbe représentative de la fonction f est au dessus de la droite d'équation $q = 2$ pour les points dont l'abscisse $t < 10,7$ .

Le médicament reste efficace pendant 10 heures.
Calculer, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10 heures qui suivent l'injection.

Soit $μ$ la valeur moyenne de la fonction f sur $[0; 10]$ d'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle : Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a < b$ .
On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $[a; b]$ , le nombre : $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

$μ = \frac{1}{10 - 0} \int_{0}^{10} 10 e^{- 0,15 t} d t = \int_{0}^{10} e^{- 0,15 t} d t$

Déterminons une primitive de la fonction $g : t \mapsto e^{- 0,15 t}$ sur l'intervalle $[0; 10]$ .

Posons $u (t) = - 0,15 t$ alors, $u' (t) = - 0,15$ . D'où $g = - \frac{1}{0,15} \times u' \times e^{u}$ .

Donc une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur $[0; 10]$ par : $G (t) = - \frac{e^{- 0,15 t}}{0,15}$ .

Par conséquent, $\begin{array}{l} \int_{0}^{10} e^{- 0,15 t} d t & = & G (10) - G (0) \\ = & - \frac{e^{- 0,15 \times 10}}{0,15} + \frac{e^{- 0,15 \times 0}}{0,15} \\ = & \frac{1 - e^{- 1,5}}{0,15} \end{array}$

La valeur moyenne de la fonction f sur $[0; 10]$ est $μ = \frac{1 - e^{- 1,5}}{0,15} \approx 5,179$

Arrondie à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10 heures qui suivent l'injection est de 5,2 mg.

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$t_{i}$	0	2	4	6	8
$y_{i}$	2,29	2,01	1,7	1,36	1,1