Baccalauréat septembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sur un marché où seul un produit A était présent, un nouveau produit B est mis en vente à partir de l'année 2003. Une enquête a montré que :

la probabilité qu'un client de A, une année donnée, reste fidèle à A l'année suivante est 0,67 ;
la probabilité qu'un client de B, une année donnée, choisisse A l'année suivante est 0,27.

On suppose que la clientèle totale pour les deux produits ne change pas. On prend un client au hasard l'année (2002 + n).

Notations :

On appelle A l'état « acheter le produit A » ;
On appelle B l'état « acheter le produit B » ;
On note $a_{n}$ la probabilité que ce client achète A pendant l'année (2002 + n).
On note $b_{n}$ la probabilité que ce client achète B pendant l'année (2002 + n).

On a donc $a_{0} = 1$ et $b_{0} = 0$ .

Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

La matrice M de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets du graphe dans l'ordre A puis B, est donc $M = (\begin{matrix} 0,67 & 0,33 \\ 0,27 & 0,73 \end{matrix})$ .
On appelle $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice décrivant l'état probabiliste de la clientèle l'année (2002 + n).
1. Donner la relation matricielle liant l'état $P_{1}$ à l'état $P_{0}$ . Calculer $P_{1}$ et traduire ce résultat par une phrase.
  
  propriété
  
  M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste, $P_{n}$ est la matrice ligne décrivant l'état probabiliste à l'étape n alors, l'état probabiliste à l'étape $n + 1$ s'obtient par $P_{n + 1} = P_{n} M$ .
2. Calculer et traduire de même l'état $P_{2}$ .
1. Exprimer $P_{n + 1}$ en fonction de $P_{n}$ . En déduire que, pour tout entier n, on a : $a_{n + 1} = 0,67 a_{n} + 0,27 b_{n}$ puis $a_{n + 1} = 0,4 a_{n} + 0,27$ .
  
  Pour tout entier n, $a_{n} + b_{n} = 1$ .
2. On définit la suite $(u_{n})$ par $u_{n} = a_{n} - 0,45$ pour tout entier n. Montrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
  
  Dire qu'une suite est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = u_{n} \times q$ .
3. Exprimer $u_{n}$ puis $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de n.
  
  Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q, alors, $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
1. Quelles sont les limites respectives a et b des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ ? Exprimer ces résultats en termes de répartition sur le marché des produits A et B.
2. On pose $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ . Vérifier que $P = P \times M$ .
  Que représente l'état P ? Dépend-il de l'état initial $P_{0}$ ?

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