sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C d'une fonction f dérivable sur $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$.

• Les points $J\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$, $K\left(-1;0\right)$, $A\left(1;\mathrm{e}\right)$ et $B\left(2;2\right)$ sont des points de C.
• La tangente à C en A est parallèle à l'axe des abscisses.
• La tangente à C en B passe par $T\left(4;0\right)$.
• La droite d'équation $y=1$ est asymptote à C en $+\infty$.
• La fonction f est strictement croissante sur $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};1\right]$ et strictement décroissante sur $\left[1;+\infty \right[$.

1. 1. Donner les valeurs de $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$, $f\left(-1\right)$, $f\left(1\right)$, $f\left(2\right)$ ainsi que la limite de f en $+\infty$.

      Dire que $M\left(x;y\right)$ est un point de la courbe représentative de la fonction f signifie que $y=f\left(x\right)$.

   2. Donner, en justifiant vos réponses, les nombres $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

      Graphiquement, le nombre dérivé $f\prime \left(a\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse a.

2. Soit g la fonction définie par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ et Γ sa représentation graphique.

   1. Déterminer l'intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en − 1 et en $+\infty$.

      La fonction g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln. Par conséquent :

      • la fonction g est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive;
      • si, $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)=K$ et $\underset{X\to K}{\lim }\ln \left(X\right)=\beta$ alors, $\underset{x\to \alpha }{\lim }g\left(x\right)=\beta$.

      En déduire les asymptotes à la courbe Γ en précisant une équation pour chacune d'elles.

   2. Exprimer $g\prime \left(x\right)$ à l'aide de $f\left(x\right)$ et $f\prime \left(x\right)$. En déduire le tableau de variations de g.

      théorème :

      Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $\ln \left(u\right)$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

   3. Déterminer $g\left(2\right)$ et $g\prime \left(2\right)$ puis une équation de la tangente à Γ au point B′ d'abscisse 2.

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