Baccalauréat septembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la substance est éliminée par les reins. La quantité qi présente dans le sang (qi en milligrammes) à l'instant ti (ti en heures) a été mesurée par des prises de sang toutes les deux heures.

ti (heures) 0 2 4 6 8
qi (mg) 9,9 7,5 5,5 3,9  3 

partie a - Modélisation par une fonction affine

 Le nuage de points associé à la série (ti;qi) est représenté dans le repère orthogonal ci-dessous.

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite D d'ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10-2) ; tracer la droite D sur la figure ci-dessus.

  2. En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, quelle estimation obtient-on de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures ? Qu'en pensez-vous ?


partie b - Recherche d'un modèle mieux adapté

  1. Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point associé à la série (ti;qi).

    Repère semi-logarithmique : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Quel type d'ajustement l'allure de cette représentation permet-elle d'envisager ?

    Dans un repère semi-logarithmique, une fonction est représentée par une droite si, et seulement si, c'est une fonction exponentielle xkax.

  2. On pose yi=lnqi . Recopier et compléter le tableau ci-dessous (valeurs arrondies au centième) :

    ti 0 2 4 6 8
    yi
  3. Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis au centième).

  4. Montrer que l'expression de q en fonction de t obtenue à partir de cet ajustement est de la forme q=aebta est arrondi à l'unité et b au centième.

    Pour tout réel q strictement positif, y=ln(q)q=ey

  5. Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur [0;15] par : f(t)=10e-0,15t.

    Tracer sa courbe représentative C sur la figure de la partie A.

  6. On suppose que ce nouveau modèle reste valable pendant 12 heures. Calculer à 10−1 près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures. Placer le point correspondant sur le graphique.


partie c

  1. Calculer f(t+1)-f(t)f(t). Interpréter le résultat par une phrase concernant le pourcentage de variation de la quantité de médicament présente dans le sang.

  2. Le médicament reste efficace tant que la quantité présente dans le sang reste supérieure à 2 mg.
    Déterminer graphiquement, à 1 heure près par défaut, la durée d'efficacité de l'injection.

  3. Calculer, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10 heures qui suivent l'injection.

    définition

    Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a<b.
    On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a;b], le nombre :μ=1b-aabf(x)dx


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