sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, A et B étant des évènements, $\overline{\mathrm{A}}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement A, $p\left(\mathrm{A}\right)$ la probabilité de A et $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{A}\right)$ la probabilité de A sachant que B est réalisé.

Une entreprise fabrique des appareils en grand nombre. Une étude statistique a permis de constater que 10% des appareils fabriqués sont défectueux.
L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces appareils avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 80% des appareils défectueux, mais il élimine également à tort 10% des appareils non défectueux. Les appareils non éliminés sont alors mis en vente.
On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l'évènement « l'appareil est défectueux » et V l'évènement « l'appareil est mis en vente ».

1. Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.

   • 10% des appareils fabriqués sont défectueux alors, $p\left(\mathrm{D}\right)=\mathrm{0,1}$ et $p\left(\overline{\mathrm{D}}\right)=1-p\left(\mathrm{D}\right)=\mathrm{0,9}$.
   • Le contrôle détecte et élimine 80% des appareils défectueux alors, $p_{\mathrm{D}}\left(\overline{\mathrm{V}}\right)=\mathrm{0,8}$ et $p_{\mathrm{D}}\left(\mathrm{V}\right)=1-p_{\mathrm{D}}\left(\overline{\mathrm{V}}\right)=\mathrm{0,2}$.
   • Le contrôle détecte et élimine à tort 10% des appareils non défectueux alors, $p_{\overline{\mathrm{D}}}\left(\overline{\mathrm{V}}\right)=\mathrm{0,1}$ et $p_{\overline{\mathrm{D}}}\left(\mathrm{V}\right)=1-p_{\overline{\mathrm{D}}}\left(\overline{\mathrm{V}}\right)=\mathrm{0,9}$.

   D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :

2. 1. Calculer $p\left(\mathrm{V}\cap \mathrm{D}\right)$ et $p\left(\mathrm{V}\cap \overline{\mathrm{D}}\right)$.
      En déduire que la probabilité qu'un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,83.

      $$\begin{array}{lllllll}p\left(\mathrm{V}\cap \mathrm{D}\right)& =& p_{\mathrm{D}}\left(\mathrm{V}\right)\times p\left(\mathrm{D}\right)& \text{et}& p\left(\mathrm{V}\cap \overline{\mathrm{D}}\right)& =& p_{\overline{\mathrm{D}}}\left(\mathrm{V}\right)\times p\left(\overline{\mathrm{D}}\right)\\ & =& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,1}& & & =& \mathrm{0,9}\times \mathrm{0,9}\\ & =& \mathrm{0,02}& & & =& \mathrm{0,81}\end{array}$$

      Ainsi, $p\left(\mathrm{V}\cap \mathrm{D}\right)=\mathrm{0,02}$ et $p\left(\mathrm{V}\cap \overline{\mathrm{D}}\right)=\mathrm{0,81}$.

      ---

      V et $\overline{\mathrm{V}}$ forment une partition de l'univers, alors , d'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$

      $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{V}\right)& =& p\left(\mathrm{V}\cap \mathrm{D}\right)+p\left(\mathrm{V}\cap \overline{\mathrm{D}}\right)\\ & =& \mathrm{0,02}+\mathrm{0,81}\\ & =& \mathrm{0,83}\end{array}$$

      Ainsi, la probabilité qu'un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est $p\left(\mathrm{V}\right)=\mathrm{0,83}$.

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   2. Calculer la probabilité qu'un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux.

      Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement D sachant que l'évènement V est réalisé. $$\begin{array}{lll}{p}_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{D}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{V}\cap \mathrm{D}\right)}{p\left(\mathrm{V}\right)}}& \text{soit}& p_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{D}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}}{\mathrm{0,83}}}={\displaystyle \frac{2}{83}}\approx \mathrm{0,024}\end{array}$$

      Arrondie au millième, la probabilité qu'un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux est 0,024.

      ---

   3. Vérifier que $p_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{D}\right)\approx \mathrm{0,24}\times p\left(\mathrm{D}\right)$.
      Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d'acquérir un appareil défectueux suivant que l'entreprise applique ou non le test de contrôle.

      $$\begin{array}{lllll}{\displaystyle \frac{p_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{D}\right)}{p\left(\mathrm{D}\right)}}& =& {\displaystyle \frac{2}{83}}\times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,1}}}& \approx & \mathrm{0,24}\end{array}$$

      Ainsi, $p_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{D}\right)\approx \mathrm{0,24}\times p\left(\mathrm{D}\right)$ . C'est à dire que la probabilité pour un acheteur d'acquérir un appareil défectueux après le test de contrôle est égale à 24% de la probabilité pour un acheteur d'acquérir un appareil défectueux si l'entreprise n'applique pas le test de contrôle.

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3. Une entreprise décide d'appliquer le contrôle, tout en continuant à fabriquer le même nombre d'appareils. Elle fabriquait et vendait une quantité $q_0$ d'appareils au prix $p_0$.
   Les pourcentages demandés seront arrondis à l'unité.

   1. Quelle est, en fonction de $q_0$ la nouvelle quantité $q_1$ d'appareils mis en vente après contrôle ?

      La probabilité qu'un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est $p\left(\mathrm{V}\right)=\mathrm{0,83}$ .

      L'entreprise continue de fabriquer le même nombre d'appareils $q_0$, donc :

      $q_1=\mathrm{0,83}{q}_0$.

      ---

   2. De quel pourcentage la quantité vendue a-t-elle diminué ?

      Soit t% le pourcentage de diminution alors, $$\begin{array}{lll}1-{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,83}& \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}=1-\mathrm{0,83}\\ & \iff & t=17\end{array}$$

      La quantité vendue a diminué de 17%.

      ---

   3. Quel doit être le nouveau prix $p_1$ (en fonction de $p_0$) pour que l'entreprise maintienne son chiffre d'affaires ?
      Quel est alors le pourcentage d'augmentation du prix de vente ?

      Le montant initial du chiffre d'affaires est $p_0\times q_0$. Par conséquent, l'entreprise maintient son chiffre d'affaires pour un prix de vente $p_1$ tel que $p_1\times q_1=p_0\times q_0$.

      Soit $$\begin{array}{lll}{p}_1\times \mathrm{0,83}\times q_0=p_0\times q_0& \iff & p_1={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,83}}}\times p_0\end{array}$$

      Pour que l'entreprise maintienne son chiffre d'affaires, le nouveau prix de vente est $p_1={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,83}}}\times p_0$.

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      Or le coefficient multiplicateur associé à l'augmentation de prix est ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,83}}}\approx \mathrm{1,2048}$.

      Ainsi, pour que l'entreprise maintienne son chiffre d'affaires, il faut appliquer une augmentation d'environ 20% sur le prix de vente.

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