sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

   Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état A ou l'état B .

   D'après l'énoncé, d'une année sur l'autre :

   • La probabilité qu'un client de A, une année donnée, reste fidèle à A l'année suivante est 0,67.

     - la probabilité de rester dans l'état A est $p_A\left(A\right)=\mathrm{0,67}$;
     - La probabilité de passer de l'état A à l'état B est donc $p_A\left(B\right)=1-\mathrm{0,67}=\mathrm{0,33}$ .

   • La probabilité qu'un client de B, une année donnée, choisisse A l'année suivante est 0,27.

     - La probabilité de passer de l'état B à l'état A est $p_B\left(A\right)=\mathrm{0,27}$ ;
     - la probabilité de rester dans l'état B est donc $p_B\left(B\right)=1-\mathrm{0,27}=\mathrm{0,73}$.

   Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

   La matrice M de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets du graphe dans l'ordre A puis B, est donc $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\\ \mathrm{0,27}& \mathrm{0,73}\end{array}\right)$.

2. On appelle $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ la matrice décrivant l'état probabiliste de la clientèle l'année (2002 + n).

   1. Donner la relation matricielle liant l'état $P_1$ à l'état $P_0$. Calculer $P_1$ et traduire ce résultat par une phrase.

      La matrice ligne décrivant l'état probabiliste $P_1$ est $P_1=P_0\times M$ (Voir la propriété) M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste, $P_n$ est la matrice ligne décrivant l'état probabiliste à l'étape n alors, l'état probabiliste à l'étape $n+1$ s'obtient par $P_{n+1}=P_{n}M$.

      Soit :$$\begin{array}{lll}{P}_1& =& \left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\\ \mathrm{0,27}& \mathrm{0,73}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}1\times \mathrm{0,67}+0\times \mathrm{0,27}& 1\times \mathrm{0,33}+0\times \mathrm{0,73}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\end{array}\right)\end{array}$$

      $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\end{array}\right)$ . En 2003 la probabilité qu'un client ait acheté le produit A est 0,67 et la probabilité qu'un client ait acheté le produit B est 0,33. Autrement dit, en 2003 les parts de marché étaient de 67% pour le produit A et 33% pour le produit B.

      ---

   2. Calculer et traduire de même l'état $P_2$.

      La matrice ligne décrivant l'état probabiliste $P_2$ est :$$\begin{array}{lll}{P}_2& =& P_1\times M\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\\ \mathrm{0,27}& \mathrm{0,73}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}{\mathrm{0,67}}^2+\mathrm{0,33}\times \mathrm{0,27}& \mathrm{0,67}\times \mathrm{0,33}+\mathrm{0,33}\times \mathrm{0,73}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,538}& \mathrm{0,462}\end{array}\right)\end{array}$$

      $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,538}& \mathrm{0,462}\end{array}\right)$ . En 2003 les parts de marché étaient de 53,8% pour le produit A et 46,2% pour le produit B.

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      remarque :

      La matrice ligne décrivant l'état probabiliste $P_2$ s'obtient également par la relation :Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste à k sommets, si $P_0$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_n$ l'état probabiliste à l'étape n alors, $P_n=P_0{M}^n$. $$\begin{array}{lll}{P}_2& =& P_0\times M^2\\ & =& \left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\\ \mathrm{0,27}& \mathrm{0,73}\end{array}\right)}^2\\ & =& \left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,538}& \mathrm{0,462}\\ \mathrm{0,378}& \mathrm{0,622}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,538}& \mathrm{0,462}\end{array}\right)\end{array}$$

3. 1. Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$. En déduire que, pour tout entier n, on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,67}{a}_n+\mathrm{0,27}{b}_n$ puis $a_{n+1}=\mathrm{0,4}{a}_n+\mathrm{0,27}$.

      La matrice ligne décrivant l'état probabiliste à l'étape $n+1$ est $P_{n+1}=P_n\times M$. Soit :$$\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\\ \mathrm{0,27}& \mathrm{0,73}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}{a}_n+\mathrm{0,27}{b}_n& \mathrm{0,33}{a}_n+\mathrm{0,73}{b}_n\end{array}\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier n, on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,67}{a}_n+\mathrm{0,27}{b}_n$.

      ---

      Comme pour tout entier n, $a_n+b_n=1$, on en déduit que : $$\begin{array}{lll}{a}_{n+1}=\mathrm{0,67}{a}_n+\mathrm{0,27}\times \left(1-a_n\right)& \iff & a_{n+1}=\mathrm{0,4}{a}_n+\mathrm{0,27}\end{array}$$

      Pour tout entier n, $a_{n+1}=\mathrm{0,4}{a}_n+\mathrm{0,27}$.

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   2. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=a_n-\mathrm{0,45}$ pour tout entier n. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

      Montrons qu'il existe un réel q tel que : $u_{n+1}=q{u}_n$ pour tout entier n. (Voir la définition d'une suite géométrique.) Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

      Or $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}& =& a_{n+1}-\mathrm{0,45}\\ & =& \mathrm{0,4}{a}_n+\mathrm{0,27}-\mathrm{0,45}\\ & =& \mathrm{0,4}{a}_n-\mathrm{0,18}\\ & =& \mathrm{0,4}\left(a_n-\mathrm{0,45}\right)\\ & =& \mathrm{0,4}{u}_n\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,4}{u}_n$, donc la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. D'autre part, $$\begin{array}{lll}{u}_0& =& a_0-\mathrm{0,45}\\ & =& 1-\mathrm{0,45}\\ & =& \mathrm{0,55}\end{array}$$

      La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme $u_0=\mathrm{0,55}$

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   3. Exprimer $u_n$ puis $a_n$ et $b_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=\mathrm{0,55}$ et de raison $q=\mathrm{0,4}$ alors d'après , la propriété des suites géométriques : Si ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier n : $$u_n=u_0\times q^n$$ et, plus généralement, pour tout entier $n⩾p$ : $u_n=u_p{u}^{n-p}$ avec $p\in \mathbb{N}$.

      pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{0,55}\times {\left(\mathrm{0,4}\right)}^n$

      Or pour tout entier naturel n, $u_n=a_n-\mathrm{0,45}$. Soit $a_n=u_n+\mathrm{0,45}$

      Ainsi pour tout entier naturel n, $a_n=\mathrm{0,55}\times {\mathrm{0,4}}^n+\mathrm{0,45}$.

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      D'autre part, pour tout entier n, $b_n=1-a_n$ . D'où $$b_n=1-\left(\mathrm{0,55}\times {\mathrm{0,4}}^n+\mathrm{0,45}\right)=\mathrm{0,55}-\mathrm{0,55}\times {\mathrm{0,4}}^n$$

      Ainsi pour tout entier naturel n, $b_n=\mathrm{0,55}\times \left(1-{\mathrm{0,4}}^n\right)$.

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4. 1. Quelles sont les limites respectives a et b des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ ? Exprimer ces résultats en termes de répartition sur le marché des produits A et B.

      • $0<\mathrm{0,4}<1$ alors, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,4}}^n=0$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,55}\times {\mathrm{0,4}}^n+\mathrm{0,45}=\mathrm{0,45}$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\mathrm{0,45}$.

      • $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,4}}^n=0$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,55}\times \left(1-{\mathrm{0,4}}^n\right)=\mathrm{0,55}$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}_n=\mathrm{0,55}$.

      Les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ convergent respectivement vers $a=\mathrm{0,45}$ et $b=\mathrm{0,55}$. À partir d'un certain nombre d'annèes, les parts de marché respectives pour les deux produits, seront 45% pour A et 55% pour B.

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   2. On pose $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$. Vérifier que $P=P\times M$. Que représente l'état P ? Dépend-il de l'état initial $P_0$ ?

      $$\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,67}& \mathrm{0,33}\\ \mathrm{0,27}& \mathrm{0,73}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}\times \mathrm{0,67}+\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,27}& \mathrm{0,45}\times \mathrm{0,33}+\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,73}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)\end{array}$$

      $P=P\times M$ donc P est l'état stable du sytème. D'après le théorème du cours, Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$. l'état stable P est indépendant de l'état initial $P_0$.

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