Baccalauréat avril 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : pondichéry

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine.
L'appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour.

Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l'une des deux formules d'entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l'appartement en fin de séjour par le personnel d'entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d'entretien).

Le gestionnaire a constaté que :

  • 60 % des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci 20 % ne souscrivent aucune formule d'entretien ;
  • la formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par 45 % des locataires de studio et par 55 % des locataires de deux-pièces ;
  • 18 % des locataires ne souscrivent aucune formule.

On rencontre un résident au hasard. Soit :

  • S l'évènement « le résident a loué un studio » ;
  • A l'évènement « le résident a souscrit la formule Simple » ;
  • B l'évènement « le résident a souscrit la formule Confort » ;
  • R l'évènement « le résident n'a souscrit aucune formule d'entretien ».
  1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ?

      Il n'y a que deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine, alors l'évènement « le résident a loué un deux-pièces » est l'évènement contraire de l'évènement « le résident a loué un studio ». On le note S¯.

      D'où :p(S¯)=1-p(S)=1-0,60=0,40

      Ainsi p(S¯)=0,40.


    2. Calculer pS(B) .

      L'arbre pondéré permet de calculer pS(B) en utilisant la règle des nœuds.Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

      Soit :pS(A)+pS(B)+pS(R)=1

      D'où :pS(B)=1-(pS(A)+pS(R))=1-(0,45+0,20)=0,35

      Ainsi pS(B)=0,35.


    1. Calculer p(RS) ; en déduire p(RS¯).

      p(RS)=pS(R)×p(S)=0,20×0,60=0,12

      Ainsi p(RS)=0,12.


      Il n'y a que deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. D'après la formule des probabilités totales :A 1, A 2, ..., A n forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn).
      p(R)=p(RS)+p(RS¯)

      Or 18 % des locataires ne souscrivent aucune formule. Soit p(R)=0,18.

      Ainsi :p(RS)+p(RS¯)=0,18

      D'où :p(RS¯)=0,18-p(RS)=0,18-0,12=0,06

      Ainsi p(RS¯)=0,06.


    2. Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu'il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15.

      Il s'agit de déterminer la probabilité de l'évènement R sachant que l'évènement S¯ est réalisé.

      Or pS¯(R)=p(RS¯)p(S¯)

      D'où pS¯(R)=0,060,40=0,15

      Ainsi pS¯(R)=0,15.


  2. Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation.

    Comme dans la question précédente on utilise la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité de l'évènement A.

    Soit p(A)=p(AS)+p(AS¯)=pS(A)×p(S)+pS¯(A)×p(S¯)=0,45×0,60+0,55×0,40=0,49

    49% des résidents ont choisi la formule Simple.


  3. La location d'un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d'un deux-pièces 480 euros.
    La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros.
    Soit L le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs Li. On désigne par pi la probabilité que le coût de la semaine soit égal à Li.

    1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

      Résumons dans un tableau les calculs des différentes probabilités.

        A B R  
       S  p(AS)=0,45×0,60=0,27 p(BS)=0,35×0,60=0,21 0,12 0,60
      S¯ p(AS¯)=0,55×0,40=0,22 p(BS¯)=0,40-(0,22+0,06)=0,12 0,06 0,40
        0,49 0,18 1

      D'où la loi de probabilité de la variable coùt :

      Li 350 370 390 480 500 520
      pi 0,12 0,27 0,21 0,06 0,22 0,12

    2. Calculer l'espérance de L. En donner une interprétation.

      Soit μ l'espérance de L, d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques xi.
      L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ :μ=x1p1+x2p2++xnpn=i=1nxipi

      μ=350×0,12+370×0,27+390×0,21+480×0,06+500×0,22+520×0,12=425

      Le coût moyen de la semaine (loyer et entretien) est de 425€.



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