Baccalauréat avril 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : pondichéry

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

L'objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : limx→+∞(ln⁡xx)=0.

PARTIE A : ÉTUDE D'UNE FONCTION

On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f⁡(x)=ln⁡x-x.

  1. Calculer f′⁡(x) et montrer que l'on a f′⁡(x)=2-x2⁢x.

    On rappelle que la dérivée de la fonctionx→xestx→12⁢x.

  2. En déduire le tableau de variation de f sur ]0;+∞[ (les limites aux bornes ne sont pas demandées).

  3. Justifier alors que, pour tout x de ]0;+∞[ , on a ln⁡x<x .

    Montrer que le maximum de la fonction f est négatif.

PARTIE B : UTILISATION DES THÉORÈMES DE COMPARAISON

  1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : 0<ln⁡xx<1x

    Si x>1, alors ln⁡x>0.

  2. Déterminer limx→+∞(1x). En déduire limx→+∞(ln⁡xx).

    théorème : limite par comparaison

    L désigne un nombre réel.
    S'il existe un réel A tel que, pour tout x>A, on a  u⁡(x)⩽f⁡(x)⩽v⁡(x)
    Si limx→+∞u⁡(x)=L et limx→+∞v⁡(x)=L, alors limx→+∞f⁡(x)=L.

On rappelle que la dérivée de la fonction x→x est x→12⁢x.

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