Baccalauréat avril 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: pondichéry

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine.
L'appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour.

Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l'une des deux formules d'entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l'appartement en fin de séjour par le personnel d'entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d'entretien).

Le gestionnaire a constaté que :

On rencontre un résident au hasard. Soit :

  1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    1. Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ?

    2. Calculer pSB .

    1. Calculer pRS ; en déduire pRS¯.

    2. Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu'il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15.

  2. Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation.

  3. La location d'un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d'un deux-pièces 480 euros.
    La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros.
    Soit L le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs Li. On désigne par pi la probabilité que le coût de la semaine soit égal à Li.

    1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

      Li 350 370 390 480 500 520
      pi 0,12   0,21     0,12
    2. Calculer l'espérance de L. En donner une interprétation.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des quatre questions, une et une seule affirmation est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l'affirmation exacte sans justifier votre choix.

Barème :
À chaque question est attribué 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

Soit f la fonction définie sur ]4;+[ par fx=-2x+1-8x4 et Γ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

  1. Une autre expression de fx est :

    • fx=-2x+1-2x1 ;
    • fx=2x2-9x+124-x ;
    • fx=2x2+9x-24-x.
  2. Soit f la fonction dérivée de f sur ]4;+[ . Une expression de fx est :

    • fx=-2-8x-42 ;
    • fx=2-xx-6x-42 ;
    • fx=-2x2+16x-24x-42.
  3. La courbe Γ admet pour asymptote :

    • la droite d'équation y=4 ;
    • la droite d'équation x=4 ;
    • la droite d'équation y=4x.
  4. La droite d'équation y=-2x+1 est :

    • asymptote à la courbe Γ ;
    • située en dessous de la courbe Γ ;
    • tangente à la courbe Γ.
  5. La fonction xFx donnée par :

    • Fx=-x2+x+8x-42
    • Fx=-x2+x+8lnx-4
    • Fx=-x2+x-8lnx-4

    est une primitive de f sur ]4;+[ .


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

L'objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : limx+lnxx=0.

PARTIE A : ÉTUDE D'UNE FONCTION

On considère la fonction f définie sur ]0;+[ par fx=lnx-x.

  1. Calculer fx et montrer que l'on a fx=2-x2x.

  2. En déduire le tableau de variation de f sur ]0;+[ (les limites aux bornes ne sont pas demandées).

  3. Justifier alors que, pour tout x de ]0;+[ , on a lnx<x .

PARTIE B : UTILISATION DES THÉORÈMES DE COMPARAISON

  1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : 0<lnxx<1x

  2. Déterminer limx+1x. En déduire limx+lnxx.

On rappelle que la dérivée de la fonction xx est x12x.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne la population d'une ville nouvelle entre les années 1970 et 2000.

Année 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Rang de l'année x 0 5 10 15 20 25 30
Population en milliers d'habitants y 18 21 25 30 36 42 50

Le nuage de points associé à ce tableau est représenté ci-dessous : le rang x de l'année est en abscisse et la population y en ordonnée.
Ce graphique sera complété au fur et à mesure des questions et rendu avec la copie.

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

PARTIE A : AJUSTEMENT AFFINE

  1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe.

  2. Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près.

PARTIE B : UN AJUSTEMENT EXPONENTIEL

  1. L'allure du nuage incite à chercher un ajustement par une fonction f définie sur [0;+[ par fx=aebxa et b sont des réels.

    Déterminer a et b tels que f0=18 et f30=50. On donnera une valeur arrondie de b au millième.

  2. Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près.

  3. Tracer la courbe représentative de f sur le graphique donné en annexe.

  4. La population en 2003 était de 55 milliers. Lequel des deux ajustements vous semble le plus pertinent ? Justifier votre choix.

PARTIE C : CALCUL D'UNE VALEUR MOYENNE

On considère maintenant que, pour une année, la population est donnée en fonction du rang x par fx=18e0,034x.

  1. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur [0;30] ; on donnera le résultat arrondi au dixième.

  2. À l'aide d'une lecture graphique, déterminer l'année au cours de laquelle la population a atteint cette valeur moyenne ?



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