sujet : pondichéry

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

PARTIE A : AJUSTEMENT AFFINE

1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe.

   Une équation de la droite de régression de y en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est :

   $y=\mathrm{1,06}x+\mathrm{15,75}$   (coefficients arrondis au centième)

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2. Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près.

   Le rang de l'année 2003 est x = 33 .

   Une estimation de la population en 2003 obtenue à partir de l'ajustement affine est :

   $y=\mathrm{1,06}\times 33+\mathrm{15,75}=\mathrm{50,73}$

   En 2003, la population est estimée à 51 milliers d'habitants.

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PARTIE B : UN AJUSTEMENT EXPONENTIEL

1. L'allure du nuage incite à chercher un ajustement par une fonction f définie sur $[0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=a{\mathrm{e}}^{bx}$ où a et b sont des réels.
   Déterminer a et b tels que $f\left(0\right)=18$ et $f\left(30\right)=50$. On donnera une valeur arrondie de b au millième.

   $f\left(0\right)=18$ alors a et b sont solutions de l'équation $a{\mathrm{e}}^{b\times 0}=18\iff a=18$.

   $f\left(30\right)=50$ alors a et b sont solutions de l'équation $a{\mathrm{e}}^{30b}=50$.

   Ainsi a et b sont solutions du système d'équation $$\begin{array}{lllll}\{\begin{array}{rcl}a& =& 18\\ a{\mathrm{e}}^{30b}& =& 50\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& 18\\ 18{\mathrm{e}}^{30b}& =& 50\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& 18\\ {\mathrm{e}}^{30b}& =& {\displaystyle \frac{25}{9}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& 18\\ \ln \left({\mathrm{e}}^{30b}\right)& =& \ln \left({\displaystyle \frac{25}{9}}\right)\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& 18\\ 30b& =& \ln \left(25\right)-\ln \left(9\right)\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& 18\\ b& =& {\displaystyle \frac{\ln \left(25\right)-\ln \left(9\right)}{30}}\end{array}& \end{array}$$

   Or :$${\displaystyle \frac{\ln \left(25\right)-\ln \left(9\right)}{30}}={\displaystyle \frac{2\ln \left(5\right)-2\ln \left(3\right)}{30}}={\displaystyle \frac{\ln \left(5\right)-\ln \left(3\right)}{15}}$$

   Par conséquent, la valeur arrondie de b au millième, obtenue à la calculatrice est 0,034.

   Ainsi f est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=18{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}x}$.

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2. Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près.

   En 2003 une estimation à l'aide de cet ajustement est :$f\left(33\right)=18{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}\times 33}\approx \mathrm{55,2778}$

   En 2003, à l'aide de cet ajustement, la population est estimée à 55 milliers d'habitants.

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3. Tracer la courbe représentative de f sur le graphique donné en annexe.

4. La population en 2003 était de 55 milliers. Lequel des deux ajustements vous semble le plus pertinent ? Justifier votre choix.

   L'estimation la plus proche de la population réelle est celle obtenue avec un ajustement exponentiel.

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PARTIE C : CALCUL D'UNE VALEUR MOYENNE

On considère maintenant que, pour une année, la population est donnée en fonction du rang x par $f\left(x\right)=18{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}x}$.

1. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur $[0;30]$ ; on donnera le résultat arrondi au dixième.

   Soit $\mu$ la valeur moyenne de la fonction f sur $[0;30]$ d'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle : Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
   On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   $$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{30-0}}{\int }_0^{30}18{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}x}\mathrm{d}x}={\displaystyle {\displaystyle \frac{18}{30}}{\int }_0^{30}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}x}\mathrm{d}x}$$

   Or sur $[0;30]$, une expression d'une primitive de la fonction $g:x\to {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}x}$ est $G\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}x}}{\mathrm{0,034}}}$.

   D'où $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{18}{30}}{\int }_0^{30}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}x}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\left[{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}x}}{\mathrm{0,034}}}\right]}_0^{30}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{5}}\times \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}\times 30}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}\times 0}}{\mathrm{0,034}}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{3\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{1,02}}-1\right)}{\mathrm{0,17}}}\end{array}$$

   Avec la calculatrice on trouve ${\displaystyle \frac{3\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{1,02}}-1\right)}{\mathrm{0,17}}}\approx \mathrm{31,2917}$

   Ainsi l'arrondi au dixième de la valeur moyenne de la fonction f sur $[0;30]$ est 31,3.

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2. À l'aide d'une lecture graphique, déterminer l'année au cours de laquelle la population a atteint cette valeur moyenne ?

   La droite d'équation $y=\mathrm{31,3}$ coupe la courbe ${𝒞}_f$ en un point dont l'abscisse est comprise entre 16 et 17. C'est donc au cours de la dix-septième année à partir de 1970 que la population atteint 31,3 milliers d'habitants.

   La population a atteint 31,3 milliers d'habitants au cours de l'année 1987.

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   remarque:

   On peut valider par le calcul le résultat obtenu graphiquement.

   Soit n le rang de l'année au cours de laquelle la population atteindra 31,3 milliers d'habitants.

   n est le plus petit entier solution de l'inéquation $18{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}n}⩾\mathrm{31,3}$.

   $$\begin{array}{lll}18{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}n}⩾\mathrm{31,3}& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}n}⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{31,3}}{18}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,034}n}\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{31,3}}{18}}\right)\\ & \iff & \mathrm{0,034}n⩾\ln \left(\mathrm{31,3}\right)-\ln \left(18\right)\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{31,3}\right)-\ln \left(18\right)}{\mathrm{0,034}}}\approx \mathrm{16,272}\end{array}$$

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