sujet : pondichéry

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

L'objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\right)=0$.

PARTIE A : ÉTUDE D'UNE FONCTION

On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=\ln x-\sqrt{x}$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et montrer que l'on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-\sqrt{x}}{2x}}$.

   Pour tout réel x strictement positif $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{2x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2-\sqrt{x}}{2x}}\end{array}$$

   Ainsi $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-\sqrt{x}}{2x}}$.

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2. En déduire le tableau de variation de f sur $]0;+\infty [$ (les limites aux bornes ne sont pas demandées).

   $2-\sqrt{x}⩽0\iff x⩾4$

   Nous pouvons déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ ainsi que le tableau de variation de f sur $]0;+\infty [$

   x	0			4		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f				$f\left(4\right)$

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3. Justifier alors que, pour tout x de $]0;+\infty [$, on a $\ln x<\sqrt{x}$ .

   D'après le tableau des variations, la fonction f admet un maximum sur$]0;+\infty [$, atteint pour x = 4.

   Or $$\begin{array}{lll}f\left(4\right)& =& \ln 4-2\\ & =& 2\ln 2-2\\ & =& 2\left(\ln 2-1\right)\end{array}$$

   Comme $2<\mathrm{e}$, la stricte croissance de la fonction ln nous permet de conclure que $\ln 2-1<0$. D'où $f\left(4\right)<0$.

   D'autre part, dire que $f\left(4\right)$ est le maximum de la fonction f sur$]0;+\infty [$, signifie que pour tout réel x strictement positif, $f\left(x\right)<0$.

   Donc pour tout x de $]0;+\infty [$, on a $\ln x<\sqrt{x}$ .

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PARTIE B : UTILISATION DES THÉORÈMES DE COMPARAISON

1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : $0<{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$

   Dans la partie A, il a été établi que pour tout réel x strictement positif, $\ln x<\sqrt{x}$, or si $x>1\text{, }\ln x>0$.

   Donc si $x>1$ on a :$$\begin{array}{llll}0<\ln x<\sqrt{x}& \iff & 0<{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}}& x\text{ est un réel strictement positif}\\ & \iff & 0<{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\times \sqrt{x}}}& \text{Si }x>0\text{, alors }x={\left(\sqrt{x}\right)}^2\\ & \iff & 0<{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}& \end{array}$$

   Ainsi pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : $0<{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$.

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2. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\right)$. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\right)$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}=0$.

   théorème : limite par comparaison

   L désigne un nombre réel.
   S'il existe un réel A tel que, pour tout $x>\mathrm{A}\text{, on a }u\left(x\right)⩽f\left(x\right)⩽v\left(x\right)$
   Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=\mathrm{L}$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }v\left(x\right)=\mathrm{L}$, alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{L}$.

   Si $x>1\text{, }0<{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}=0$, alors d'après le théorème on obtient :

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\right)=0$

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