sujet : pondichéry

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des quatre questions, une et une seule affirmation est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l'affirmation exacte sans justifier votre choix.

Barème :
À chaque question est attribué 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

Soit f la fonction définie sur $]4;+\infty [$ par $f\left(x\right)=-2x+1-{\displaystyle \frac{8}{x-4}}$ et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

1. Une autre expression de $f\left(x\right)$ est :

   • $f\left(x\right)=-2x+1-{\displaystyle \frac{2}{x-1}}$ ;
   • $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-9x+12}{4-x}}$ ;
   • $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2+9x-2}{4-x}}$.

2. Soit $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $]4;+\infty [$. Une expression de $f\prime \left(x\right)$ est :

   • $f\prime \left(x\right)=-2-{\displaystyle \frac{8}{{\left(x-4\right)}^2}}$ ;
   • $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(2-x\right)\left(x-6\right)}{{\left(x-4\right)}^2}}$ ;
   • $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+16x-24}{{\left(x-4\right)}^2}}$.

3. La courbe $\Gamma$ admet pour asymptote :

   • la droite d'équation $y=4$ ;
   • la droite d'équation $x=4$ ;
   • la droite d'équation $y=4x$.

   La fonction f étant définie sur $]4;+\infty [$, étudier $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)$.

4. La droite d'équation $y=-2x+1$ est :

   • asymptote à la courbe $\Gamma$ ;
   • située en dessous de la courbe $\Gamma$ ;
   • tangente à la courbe $\Gamma$.

   Étudier $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-\left(-2x+1\right)\right)$.

5. La fonction $x\to F\left(x\right)$ donnée par :

   • $F\left(x\right)=-x^2+x+8{\left(x-4\right)}^2$
   • $F\left(x\right)=-x^2+x+8\ln \left(x-4\right)$
   • $F\left(x\right)=-x^2+x-8\ln \left(x-4\right)$

   est une primitive de f sur $]4;+\infty [$.

   Déterminer une primitive de la fonction $g:x\to -{\displaystyle \frac{8}{x-4}}$ sur l'intervalle $]4;+\infty [$ à l'aide du théorème :

   u est une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur I. Alors, une primitive sur I de la fonction ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ est la fonction :
   $x\to \ln u\left(x\right)$ si $u\left(x\right)>0$ sur I.

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