sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s'intéresse aux prises de sang effectuées dans cet hôpital.

partie A : Dans le service de soins A.

1. En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.

   Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à la calculatrice est : $y=-\mathrm{1,7}x+\mathrm{52,7}$

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2. Avec cet ajustement. quel nombre de prises de sang peut-on prévoir pour le mois de décembre 2006 ? (arrondir à l'unité).

   Le rang du mois de décembre est 6. Une estimation du nombre de prises de sang à partir du modèle précédent est donc : $$y=-\mathrm{1,7}\times 12+\mathrm{52,7}=\mathrm{32,3}$$

   Si cette tendance se poursuit, le nombre de prises de sang que l'on peut prévoir pour le mois de décembre 2006 est de 32.

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partie B : Dans l'ensemble des trois services de soins.

1. Représenter la situation par un arbre de probabilité en complétant cet arbre autant qu'il est possible.

   Par hypothèse :

   • 40% des prises de sang sont effectuées dans le service de soins A alors, $p\left(A\right)=\mathrm{0,4}$.
   • un tiers le sont dans le service de soins B alors, $p\left(B\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
   • les autres dans le service de soins C alors, $p\left(C\right)=1-p\left(A\right)-p\left(B\right)$ soit $p\left(C\right)=1-\mathrm{0,4}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{15}}}$
   • dans le service de soins A, 60% des prises de sang effectuées le sont avec des aiguilles fournies par le laboratoire GLOBULEX alors, $p_A\left(G\right)=\mathrm{0,6}$.
   • dans le service de soins B, ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ des prises de sang effectuées le sont avec des aiguilles fournies par le laboratoire HEMATIS" alors, $p_B\left(H\right)={\displaystyle \frac{4}{5}}$.
   • dans le service de soins C, il y a autant de prises de sang effectuées avec des aiguilles fournies par le laboratoire GLOBULEX que de prises de sang effectuées avec des aiguilles fournies par le laboratoire HEMATIS" alors, $p_C\left(G\right)=p_C\left(H\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   On complète l'arbre pondéré en utilisant la règle des nœuds : Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1. : $p_A\left(H\right)=1-p_A\left(G\right)=\mathrm{0,4}$ et, $p_B\left(G\right)=1-p_B\left(H\right)={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{5}}}$.

2. Déterminer la probabilité de l'évènement « Le patient a subi une prise de sang dans le service de soins B avec une aiguille fournie par le laboratoire HEMATIS ».

   Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement " B et H " $$\begin{array}{rcl}p\left(B\cap H\right)=p_B\left(H\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap H\right)={\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{15}}\end{array}$$

   La probabilité de l'évènement « Le patient a subi une prise de sang dans le service de soins B avec une aiguille fournie par le laboratoire HEMATIS » est égale à ${\displaystyle \frac{4}{15}}$.

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3. Calculer la probabilité de l'évènement H.

   L'hôpital est composé de trois services alors, A, B et C forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$ $$p\left(H\right)=p\left(A\cap H\right)+p\left(B\cap H\right)+p\left(C\cap H\right)$$

   Or $$\begin{array}{lrcl}& p\left(A\cap H\right)=p_A\left(H\right)\times p\left(A\right)& \text{soit}& p\left(A\cap H\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,16}\\ \text{et}& p\left(C\cap H\right)=p_C\left(H\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(C\cap H\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{4}{15}}={\displaystyle \frac{2}{15}}\end{array}$$

   D'où $$p\left(H\right)=\mathrm{0,16}+{\displaystyle \frac{4}{15}}+{\displaystyle \frac{2}{15}}=\mathrm{0,56}$$

   la probabilité de l'évènement H est égale à 0,56.

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4. Le patient a subi une prise de sang avec une aiguille fournie par le laboratoire HEMATIS. Déterminer la probabilité que cette prise de sang ait été effectuée dans le service de soins B.

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de B sachant que l'évènement H est réalisé $$\begin{array}{rcl}{p}_H\left(B\right)={\displaystyle \frac{p\left(B\cap H\right)}{p\left(H\right)}}& \text{soit}& p_H\left(B\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{15}}}{\mathrm{0,56}}}={\displaystyle \frac{10}{21}}\end{array}$$

   La probabilité que la prise de sang ait été effectuée dans le service de soins B sachant que l'aiguille est fournie par le laboratoire HEMATIS est $p_H\left(B\right)={\displaystyle \frac{10}{21}}$.

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