Baccalauréat novembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

  1. La fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par f(x)=2x a pour dérivée la fonction f telle que pour tout réel x, f(x)=x2x-1.

    La fonction f est une fonction de la forme xax  (a>0). Sa dérivée est donc la fonction f définie sur par :f(x)=2x×ln2

    Pour tout réel x, f(x)=2xln2 alors, l'affirmation 1 est fausse.


  2. L'équation ln(x+1)+ln(x+3)=ln(3x+5) a une autre solution réelle que le nombre 1.

    L'équation ln(x+1)+ln(x+3)=ln(3x+5) est définie pour : x+1>0x>-1etx+3>0x>-3et3x+5>0x>-53

    Sur l'intervalle ]-1;+[, ln(x+1)+ln(x+3)=ln(3x+5)ln((x+1)(x+3))=ln(3x+5)

    La fonction ln étant strictement croissante, sur l'intervalle ]-1;+[ , l'équation ln((x+1)(x+3))=ln(3x+5) a les mêmes solutions que l'équation (x+1)(x+3)=3x+5.

    Or sur , (x+1)(x+3)=3x+5x2+x+3x+3=3x+5x2+x-2=0

    Δ=12-4×1×(-2)=9 d'où l'équation admet deux solutions x1=-1-32=-2etx1=-1+32=1

    1 est la seule solution comprise dans l'intervalle ]-1;+[. Donc

    1 est l'unique solution de l'équation ln(x+1)+ln(x+3)=ln(3x+5). L'affirmation 2 est fausse.


  3. En 20 ans, la population d'une commune rurale a augmenté de 40%. Le taux d'accroissement moyen annuel, arrondi à 10-2 est de 1,70%.

    Soit t le taux d'accroissement moyen annuel. Alors, t est solution de (1+t100)20=(1+40100)(1+t100)20=1,41+t100=(1,4)120t100=1,40,05-1Soitt1,6966

    Pour un accroissement en 20 ans de 40%, le taux d'accroissement moyen annuel, arrondi à 10-2 est de 1,70%. L'affirmation 3 est vraie.


  4. La valeur moyenne sur l'intervalle [0;4] de la fonction qui à x associe e-x est 1-e-44.

    La valeur moyenne sur l'intervalle [0;4] de la fonction qui à x associe e-x est d'après la définition, Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a<b.
    On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a;b], le nombre :μ=1b-aabf(x)dx
    μ=14-004e-xdx=14[-e-x]04=14(-e-4+e0)

    La valeur moyenne sur l'intervalle [0;4] de la fonction qui à x associe e-x est égale à 1-e-44 . L'affirmation 4 est vraie.


  5. Une étude statistique sur des séances de « tir au but » a montré que 75% des tirs au but étaient réussis. Au cours d'un match de football, 4 tirs au but, que l'on suppose être des épreuves aléatoires indépendantes, ont été effectués.
    Affirmation : « La probabilité qu'au moins un des quatre tirs au but échoue est 0,254. »

    Les 4 tirs au but, sont des épreuves aléatoires indépendantes. Il s'agit de la répétition de quatre épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de tirs qui ont réussi est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,75.

    L'évènement "au moins un des quatre tirs au but échoue" est l'évènement contraire de l'évènement "les quatre tirs au but sont réussis".

    Or la probabilité d'obtenir quatre succès consécutifs est égale à : (0,75)4.

    La probabilité qu'au moins un des quatre tirs au but échoue est donc : 1-(0,75)4

    Or 1-(0,75)40,254. L'affirmation 5 est fausse.



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