Baccalauréat novembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: amérique du sud

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s'intéresse aux prises de sang effectuées dans cet hôpital.

partie A : Dans le service de soins A.

Dans le tableau suivant figure le nombre de prises de sang effectuées clans le service de soins A lors des premiers mois de l'année 2006.

mois janvier février mars avril mai
rang du mois xi 1 2 3 4 5
nombre de prises de sang effectuées yi 51 49 48 46 44
  1. En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.

  2. Avec cet ajustement. quel nombre de prises de sang peut-on prévoir pour le mois de décembre 2006 ? (arrondir à l'unité).

partie B : Dans l'ensemble des trois services de soins.

On a constaté après l'observation d'une assez longue période que :

Les aiguilles utilisées pour effectuer les prises de sang sont fournies soit par le laboratoire GLOBULEX, soit par le laboratoire HEMATIS ;

On choisit au hasard un patient qui a subi une prise de sang dans l'hôpital.
On considère les évènements suivants :

Pour toutes les questions, en donnera les valeurs exactes des probabilités demandées

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité en complétant cet arbre autant qu'il est possible.

  2. Déterminer la probabilité de l'évènement « Le patient a subi une prise de sang dans le service de soins B avec une aiguille fournie par le laboratoire HEMATIS ».

  3. Calculer la probabilité de l'évènement H.

  4. Le patient a subi une prise de sang avec une aiguille fournie par le laboratoire HEMATIS.

    Déterminer la probabilité que cette prise de sang ait été effectuée dans le service de soins B.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

  1. La fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par fx=2x a pour dérivée la fonction f telle que pour tout réel x, fx=x2x-1.

  2. L'équation lnx+1+lnx+3=ln3x+5 a une autre solution réelle que le nombre 1.

  3. En 20 ans, la population d'une commune rurale a augmenté de 40%. Le taux d'accroissement moyen annuel, arrondi à 10-2 est de 1,70%.

  4. La valeur moyenne sur l'intervalle 04 de la fonction qui à x associe e-x est 1-e-44.

  5. Une étude statistique sur des séances de « tir au but » a montré que 75% des tirs au but étaient réussis. Au cours d'un match de football, 4 tirs au but, que l'on suppose être des épreuves aléatoires indépendantes, ont été effectués.

    Affirmation : « La probabilité qu'au moins un des quatre tirs au but échoue est 0,254. »


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

  1. À l'occasion de la coupe du monde de football 2006 en Allemagne, une agence touristique organise des voyages en car à travers les différentes villes où se joueront les matchs d'une équipe nationale.

    Les routes empruntées par les cars sont représentées par le graphe ci-dessous.
    Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les villes. Les lettres B, D, F, H, K, M, N et S représentent les villes Berlin, Dortmund, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberg et Stuttgart.

    Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin en utilisant les cars de cette agence.

  2. Pour des raisons de sécurité, les supporters de certaines équipes nationales participant à la coupe du monde de football en 2006 ne peuvent être logés dans le même hôtel.

    On donne ci-dessous le graphe d'incompatibilité entre les supporters de différentes équipes : par exemple, un supporter de l'équipe A ne peut être logé avec un supporter de l'équipe P.

    Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer le nombre chromatique de ce graphe en justifiant la valeur trouvée.

    2. Proposer une répartition des supporters par hôtel en utilisant un nombre minimum d'hôtels.


exercice 3 ( 7 points ) commun à tous les candidats

partie A

  1. Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation :2X2-15X+18=0

  2. En déduire

    1. les solutions de l'équation : 2e2x-15ex+18=0

    2. Le signe de 2e2x-15ex+18 selon les valeurs de x.

partie B

Soit f la fonction définie par :
pour tout nombre réel x de l'intervalle ln3+, fx=2x-2+3ex-3.

On note Cf la courbe représentative de la fonction f relativement à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

  1. Déterminer la limite de la fonction f en ln3. Que peut-on en déduire pour Cf ?

  2. Démontrer que la droite (D) d'équation y=2x-2 est asymptote à la courbe  Cf en + ∞.

    Quelle est la limite de la fonction f en + ∞ ?

  3. Étudier la position relative de Cf et (D).

  4. La fonction f est dérivable sur l'intervalle ln3+ ; on note f sa dérivée.

    Montrer que :
    pour tout nombre réel x de l'intervalle ln3+, fx=2e2x-15ex+18ex-32.

    En déduire, à l'aide de la partie A, le signe de fx puis dresser le tableau de variations de f.

  5. Tracer la courbe Cf ainsi que ses asymptotes. (Si la fonction présente un minimum ou un maximum, le mettre en évidence.)

    1. Montrer que :
      pour tout réel x de l'intervalle ln3+, fx=2x-3+exex-3.

    2. Soit g la fonction définie par :
      pour tout réel x de l'intervalle ln3+, gx=exex-3.

      Déterminer une primitive de la fonction g sur l'intervalle ln3+.

    3. En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle ln3+.


exercice 4 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Pour cet exercice, il est conseillé aux candidats d'expliquer leurs recherches sur leur copie car toute démarche correcte, y compris avec la calculatrice, sera valorisée même si elle ne permet pas d'aboutir au résultat demandé.

Bruno a occupé un emploi saisonnier du 1er juin 2005 au 30 septembre 2005 en tant que commercial pour une entreprise de produits surgelés. Pour ses besoins professionnels, il a utilisé un téléphone portable et l'opérateur téléphonique lui a proposé la formule suivante :

Déterminer une approximation à 10-2 près de la valeur de t.



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✉ A.Yallouz

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