sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

1. La fonction f définie sur l'ensemble $ℝ$ des nombres réels par $f\left(x\right)=2^x$ a pour dérivée la fonction $f\prime$ telle que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=x{2}^{x-1}$.

   Ne pas confondre les fonctions $x\to a^x\left(a>0\right)$ avec les fonctions $x\to x^n$.

2. L'équation $\ln \left(x+1\right)+\ln \left(x+3\right)=\ln \left(3x+5\right)$ a une autre solution réelle que le nombre 1.

   L'équation $\ln \left(x+1\right)+\ln \left(x+3\right)=\ln \left(3x+5\right)$ est définie pour : $$\begin{array}{ccccc}x+1>0& \text{et}& x+3>0& \text{et}& 3x+5>0\end{array}$$

3. En 20 ans, la population d'une commune rurale a augmenté de 40%. Le taux d'accroissement moyen annuel, arrondi à ${10}^{-2}$ est de 1,70%.

4. La valeur moyenne sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ de la fonction qui à x associe ${\mathrm{e}}^{-x}$ est ${\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-4}}{4}}$.

5. Une étude statistique sur des séances de « tir au but » a montré que 75% des tirs au but étaient réussis. Au cours d'un match de football, 4 tirs au but, que l'on suppose être des épreuves aléatoires indépendantes, ont été effectués.

   Affirmation : « La probabilité qu'au moins un des quatre tirs au but échoue est ${\mathrm{0,25}}^4$. »

   La loi de probabilité associée au nombre de tirs qui ont réussi est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,75.
   L'évènement "au moins un des quatre tirs au but échoue" est l'évènement contraire de l'évènement "les quatre tirs au but sont réussis".

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