sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Pour cet exercice, il est conseillé aux candidats d'expliquer leurs recherches sur leur copie car toute démarche correcte, y compris avec la calculatrice, sera valorisée même si elle ne permet pas d'aboutir au résultat demandé.

Déterminer une approximation à 10^-2 près de la valeur de t.

Soit $u_0$ le temps de communication dont Bruno disposait au au 1^er juin. $$u_0=420$$

Soit $u_1$ le temps de communication dont Bruno disposait au au 1^er juillet. $$u_1=300\times \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)$$

Notons x le coefficient multiplicateur associé à l'attribution d'une durée supplémentaire de t % de la durée restante. Alors $$u_1=300x$$

En juillet, Bruno a consommé 120 minutes, et au 1^er août, l'opérateur lui a à nouveau offert une durée supplémentaire de communication égale à t % de la durée restante sur son forfait alors :
Le temps $u_2$ de communication dont Bruno disposait au au 1^er août est :$$\begin{array}{lll}{u}_2& =& \left(u_1-120\right)\times \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)\\ & =& \left(300x-120\right)x\\ & =& 300x^2-120x\end{array}$$

En août, Bruno a consommé 120 minutes, et au 1^er septembre, l'opérateur lui a à nouveau offert une durée supplémentaire de communication égale à t % de la durée restante sur son forfait alors :
Le temps $u_3$ de communication dont Bruno disposait au au 1^er septembre est :$$\begin{array}{lll}{u}_3& =& \left(u_2-120\right)\times \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)\\ & =& \left(300x^2-120x-120\right)x\\ & =& 300x^3-120x^2-120x\end{array}$$

En septembre, Bruno a consommé 120 minutes, et au 1^er octobre il a rendu son téléphone en ayant tout consommé. Alors $$\begin{array}{ccccc}{u}_4& =& u_3-120& =& 0\end{array}$$

Ainsi, x est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}300x^3-120x^2-120x-120=0& \iff & \mathrm{2,5}{x}^3-x^2-x-1=0\end{array}$$

D'autre part, $5<t<20$ d'où $\mathrm{1,05}<1+{\displaystyle \frac{t}{100}}<\mathrm{1,20}$

Nous devons donc déterminer la solution éventuelle α de l'équation $\mathrm{2,5}{x}^3-x^2-x-1=0$ telle que $\mathrm{1,05}<\alpha <\mathrm{1,20}$.

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{1,05};\mathrm{1,20}\right]$ par $f\left(x\right)=\mathrm{2,5}{x}^3-x^2-x-1$.

Sa dérivée est la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{1,05};\mathrm{1,20}\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\mathrm{7,5}{x}^2-2x-1$.

Étudions sur l'intervalle $\left[\mathrm{1,05};\mathrm{1,20}\right]$, le signe du polynôme du second degré en x : $$\mathrm{7,5}{x}^2-2x-1$$

$\mathrm{\Delta }=2^2+4\times \mathrm{7,5}=34$.

Le polynôme admet deux racines $x_1={\displaystyle \frac{2-\sqrt{34}}{15}}\approx -\mathrm{0,25}$ et $x_2={\displaystyle \frac{2+\sqrt{34}}{15}}\approx \mathrm{0,52}$.

D'après la règle donnant le signe d'un trinôme du second degré, la dérivée est strictement positive sur l'intervalle $\left[\mathrm{1,05};\mathrm{1,20}\right]$ d'où le tableau de variation de la fonction f.

x	1,05		1,20
Signe de f '		+
Variations de f

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La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\left[\mathrm{1,05};\mathrm{1,20}\right]$, $f\left(\mathrm{1,05}\right)\approx -\mathrm{0,258}$ et $f\left(\mathrm{1,2}\right)=\mathrm{0,68}$ d'où, $f\left(\mathrm{1,05}\right)<0<f\left(\mathrm{1,20}\right)$.

Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution α dans l'intervalle $\left[\mathrm{1,05};\mathrm{1,20}\right]$.

À l'aide de la calculatrice, nous pouvons déterminer des encadrements successifs de α$$\begin{array}{c}\mathrm{1,09}<\alpha <\mathrm{1,1}\\ \mathrm{1,097}<\alpha <\mathrm{1,098}\\ \mathrm{1,097}0<\alpha <\mathrm{1,0971}\\ \mathrm{1,0970}1<\alpha <\mathrm{1,09702}\end{array}$$

Arrondi à ${10}^{-4}$ près la solution de l'équation $\mathrm{2,5}{x}^3-x^2-x-1=0$ comprise entre 1,05 et 1,20 est 1,0970.

Ainsi $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{1,0970}$ soit $t\approx \mathrm{9,7}$.

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