Baccalauréat novembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie A

  1. Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation : 2X2-15X+18=0

    2X2-15X+18=0 est une équation du second degré :

    Δ=(-15)2-4×2×18=81 donc l'équation admet deux solutions : X1=15-94=32etX2=15+94=6

    Les solutions de l'équation 2X2-15X+18=0 sont X1=32 et X2=6.


  2. En déduire

    1. les solutions de l'équation : 2e2x-15ex+18=0

      On pose X=ex avec X>0. L'équation : 2e2x-15ex+18=0 s'écrit sous la forme de l'équation du second degré 2X2-15X+18=0.

      Les solutions de l'équation du second degré sont toutes les deux positives. Ainsi :ex=32ln(ex)=ln(32) et ex=6ln(ex)=ln6x=ln(32)x=ln6

      L'ensemble des solutions de l'équation 2e2x-15ex+18=0 est S={ln(32);ln6}.


    2. Le signe de 2e2x-15ex+18 selon les valeurs de x.

      Le polynôme 2X2-15X+18 se factorise en 2(X-32)(X-6). D'où 2e2x-15ex+18=2(ex-32)(ex-6). Ot : ex-320ex32xln(32)etex-60ex6xln6

      D'où le tableau de signes :

      x - ln(32) ln6 +
      ex-32 0|| + | +
      ex-6 | 0|| +
      2e2x-15ex+18   + 0|| 0|| +

partie B

Soit f la fonction définie par :
pour tout nombre réel x de l'intervalle ]ln3;+[, f(x)=2x-2+3ex-3.
On note (Cf) la courbe représentative de la fonction f relativement à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

  1. Déterminer la limite de la fonction f en ln3. Que peut-on en déduire pour (Cf) ?

    limxln3x>ln3ex=3+ d'où limxln3+ex-3=0+ et limxln3+3ex-3=+. Donc limxln3+2x-2+3ex-3=+.

    Ainsi, limxln3+f(x)=+ . La courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la droite d'équation x=ln3.


  2. Démontrer que la droite (D) d'équation y=2x-2 est asymptote à la courbe  (Cf) en +.
    Quelle est la limite de la fonction f en + ?

    f(x)-(2x-2)=2x-2+3ex-3-(2x-2)=3ex-3

    Or limx+ex=+ d'où limx+ex-3=+ par quotient, limx+3ex-3=0.

    Ainsi, limx+f(x)-(2x-2)=0 alors la droite (D) d'équation y=2x-2 est asymptote à la courbe  (Cf) en +.


    limx+3ex-3=0 et limx+2x-2=+ alors par somme, limx+f(x)=+.


  3. Étudier la position relative de (Cf) et (D).

    Étudions le signe de f(x)-(2x-2) sur ]ln3;+[, x>ln3ex>eln3La fonction exponentielle est strictement croissanteex>3ex-3>0

    Donc sur ]ln3;+[, 3ex-3>0. Soit f(x)-(2x-2)>0.

    Ainsi, la courbe (Cf) est au-dessus de la droite (D).


  4. La fonction f est dérivable sur l'intervalle ]ln3;+[ ; on note f sa dérivée. Montrer que : pour tout nombre réel x de l'intervalle ]ln3;+[, f(x)=2e2x-15ex+18(ex-3)2.
    En déduire, à l'aide de la partie A, le signe de f(x) puis dresser le tableau de variations de f.

    Pour tout réel x de l'intervalle ]ln3;+[, posons u(x)=ex-3.

    Alors la fonction x3ex-3 est de la forme 3u . Donc sa dérivée est de la forme -3uu2 avec u(x)=ex.

    f(x)=2x-2+3ex-3 donc : f(x)=2-3ex(ex-3)2=2(ex-3)2-3ex(ex-3)2=2(e2x-6ex+9)-3ex(ex-3)2=2e2x-12ex+18-3ex(ex-3)2=2e2x-15ex+18(ex-3)2

    Pour tout nombre réel x de l'intervalle ]ln3;+[, f(x)=2e2x-15ex+18(ex-3)2.


    Pour tout réel x, (ex-3)2>0. Le signe de f(x) est celui de l'expression 2e2x-15ex+18 sur l'intervalle ]ln3;+[.

    À partir de l'étude faite dans la partie A, nous pouvons établir le signe de f(x) ainsi que les variations de la fonction f.

    x ln3     ln6   +
    Signe de f '       0|| +  
    Variations de f     

    +

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2ln(6)-1

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    +


    Calcul du minimum :

    f(ln6)=2ln6-2+3eln6-3=2ln6-2+36-3=2ln6-1

  5. Tracer la courbe (Cf) ainsi que ses asymptotes. (Si la fonction présente un minimum ou un maximum, le mettre en évidence.)

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Montrer que : pour tout réel x de l'intervalle ]ln3;+[, f(x)=2x-3+exex-3.

      2x-2+3ex-3=2x-3+1+3ex-3=2x-3+ex-3+3ex-3=2x-3+exex-3

      Pour tout réel x de l'intervalle ]ln3;+[, f(x)=2x-3+exex-3.


    2. Soit g la fonction définie par :
      pour tout réel x de l'intervalle ]ln3;+[, g(x)=exex-3. Déterminer une primitive de la fonction g sur l'intervalle ]ln3;+[.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]ln3;+[, posons u(x)=ex-3 alors, u(x)=ex.

      En outre, sur l'intervalle ]ln3;+[, ex-3>0.

      Ainsi, la fonction g est de la forme g=uu avec u>0 d'où une primitive de la fonction g est de la forme G=lnu. Soit G(x)=ln(ex-3)

      Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle ]ln3;+[ par G(x)=ln(ex-3).


    3. En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]ln3;+[.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]ln3;+[, f(x)=2x-3+exex-3 , d'après le résultat précédent :

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle ]ln3;+[ par F(x)=x2-3x+ln(ex-3).



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