Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation :
est une équation du second degré :
donc l'équation admet deux solutions :
Les solutions de l'équation sont et .
En déduire
les solutions de l'équation :
On pose avec . L'équation : s'écrit sous la forme de l'équation du second degré .
Les solutions de l'équation du second degré sont toutes les deux positives. Ainsi :
L'ensemble des solutions de l'équation est .
Le signe de selon les valeurs de x.
Le polynôme se factorise en . D'où . Ot :
D'où le tableau de signes :
x | |||||||
− | + | + | |||||
− | − | + | |||||
+ | − | + |
Soit f la fonction définie par :
pour tout nombre réel x de l'intervalle , .
On note la courbe représentative de la fonction f relativement à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).
Déterminer la limite de la fonction f en ln3. Que peut-on en déduire pour ?
d'où et . Donc .
Ainsi, . La courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la droite d'équation .
Démontrer que la droite (D) d'équation est asymptote à la courbe en .
Quelle est la limite de la fonction f en ?
Or d'où par quotient, .
Ainsi, alors la droite (D) d'équation est asymptote à la courbe en .
et alors par somme, .
Étudier la position relative de et (D).
Étudions le signe de sur ,
Donc sur , . Soit .
Ainsi, la courbe est au-dessus de la droite (D).
La fonction f est dérivable sur l'intervalle ; on note sa dérivée. Montrer que : pour tout nombre réel x de l'intervalle , .
En déduire, à l'aide de la partie A, le signe de puis dresser le tableau de variations de f.
Pour tout réel x de l'intervalle , posons .
Alors la fonction est de la forme . Donc sa dérivée est de la forme avec .
donc :
Pour tout nombre réel x de l'intervalle , .
Pour tout réel x, . Le signe de est celui de l'expression sur l'intervalle .
À partir de l'étude faite dans la partie A, nous pouvons établir le signe de ainsi que les variations de la fonction f.
x | |||||||
Signe de f ' | − | + | |||||
Variations de f |
Calcul du minimum :
Tracer la courbe ainsi que ses asymptotes. (Si la fonction présente un minimum ou un maximum, le mettre en évidence.)
Montrer que : pour tout réel x de l'intervalle , .
Pour tout réel x de l'intervalle , .
Soit g la fonction définie par :
pour tout réel x de l'intervalle , . Déterminer une primitive de la fonction g sur l'intervalle .
Pour tout réel x de l'intervalle , posons alors, .
En outre, sur l'intervalle , .
Ainsi, la fonction g est de la forme avec d'où une primitive de la fonction g est de la forme . Soit
Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle par .
En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle .
Pour tout réel x de l'intervalle , , d'après le résultat précédent :
Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle par .
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