1. L'ensemble des solutions de l'équation $\ln \left(x^2\right)=2$ est …

Pour tout réel $x\ne 0$, $$\begin{array}{ccc}\ln \left(x^2\right)=2& \iff & \ln \left(x^2\right)=2\ln \mathrm{e}\hfill \\ & \iff & \ln \left(x^2\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)\hfill \\ & \iff & x^2={\mathrm{e}}^2\hfill \end{array}$$ Soit $x=-\mathrm{e}$ ou $x=\mathrm{e}$

2. $\exp \left(2x-6\right)$ est égale à …

Pour tout réel x, $${\mathrm{e}}^{2x-6}={\mathrm{e}}^{2\left(x-3\right)}={\left({\mathrm{e}}^{x-3}\right)}^2$$

• ${\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^6$
• ${\displaystyle \frac{2{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^6}}$
• ${\left({\mathrm{e}}^{x-3}\right)}^2$

3. L'ensemble des solutions de l'inéquation $-1<{\mathrm{e}}^x<9$ est …

La fonction exponentielle est strictement croissante donc pour tout réel x, $${\mathrm{e}}^x<9\iff {\mathrm{e}}^x<{\mathrm{e}}^{\ln 9}\iff x<\ln 9\iff x<2\ln 3$$

D'autre part, pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$

Par conséquent, L'ensemble des solutions de l'inéquation $-1<{\mathrm{e}}^x<9$ est $\left]-\infty ;2\ln 3\right[$

• $\left]0;\ln 9\right[$
• $\left]-\infty ;2\ln 3\right[$
• $\left]{\mathrm{e}}^{-1};{\mathrm{e}}^9\right[$

4. Si ${\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\mathrm{1,9}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=-\mathrm{0,9}$, alors ${\displaystyle {\int }_2^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\dots$

D'après les propriétés de l'intégrale :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_2^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_2^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\hfill \\ & =& -{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}+\mathrm{1,9}=\mathrm{2,8}\hfill \end{array}$$

• 1
• $-\mathrm{2,8}$
• 2,8

5.  La valeur moyenne de la fonction $f:x⟼{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ sur $\left[0;4\right]$ est égale à …

Par définition, la valeur moyenne de la fonction f est le réel μ $$\begin{array}{ccc}\mu ={\displaystyle \frac{1}{4-0}}\times {\displaystyle {\int }_0^4{\displaystyle \frac{1}{x+1}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle {\left[\ln \left(x+1\right)\right]}_0^4}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left(\ln 5-\ln 1\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\ln 5\hfill \end{array}$$

6.  Laquelle de ces limites est exacte ?

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{{\mathrm{e}}^x}}=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors, par composition des limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left({\displaystyle \frac{2}{{\mathrm{e}}^x}}\right)=-\infty$

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left({\displaystyle \frac{2}{{\mathrm{e}}^x}}\right)=-\infty$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=-\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}=1$

7. Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total. Si le coût marginal est $C_m\left(q\right)={\displaystyle \frac{6+6\ln q}{q}}$ exprimé en milliers d'euros pour $q>0$, alors le coût total exprimé en milliers d'euros est égal à …

Si le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total alors, le coût total est une primitive du coût marginal.

$$C_m\left(q\right)={\displaystyle \frac{6+6\ln q}{q}}={\displaystyle \frac{6\left(1+\ln q\right)}{q}}$$

Or la dérivée de la fonction $u:q⟼1+\ln q$ sur $\left]0;+\infty \right[$ est la fonction $u\prime :q⟼{\displaystyle \frac{1}{q}}$

La fonction $C_m=6\times u\times u\prime$ d'où une primitive est de la forme $C_T=3\times u^2+c$ avec c un réel quelconque. Soit $$C_T\left(q\right)=3\times {\left(1+\ln q\right)}^2+c=3+6\ln q+3{\left(\ln q\right)}^2+c$$

En choisissant $c=-3$, on trouve $$C_T\left(q\right)=6\ln q+3{\left(\ln q\right)}^2=3\ln q\left(2+\ln q\right)$$

remarque :

$1+\ln q⩽0\iff 0<q⩽1$. Par conséquent, les primitives de la fonction $C_m$ étant des fonctions décroissantes sur l'intervalle $\left]0;1\right]$ ne conviennent pas pour modéliser une fonction coût total.
En outre, la fonction définie par $C_T\left(q\right)=3\ln q\left(2+\ln q\right)$ est négative sur l'intervalle $\left[{\mathrm{e}}^{-2};1\right]$

• $C_T\left(q\right)=3\ln q\left(2+\ln q\right)$
• $C_T\left(q\right)={\displaystyle \frac{-6\ln q}{q^2}}$
• $C_T\left(q\right)=6\ln q+3\ln \left(q^2\right)$

8. Si f est la fonction définie sur $\left[1;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=2\ln x-3x+5$, alors dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe représentant f au point d'abscisse 1 est …

La tangente à la courbe représentant f au point d'abscisse 1 a pour équation $$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

Or $f\left(1\right)=2\ln 1-3+5=2$
et $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-3$ d'où $f\prime \left(1\right)=-1$

Ainsi, la tangente à la courbe représentant f au point d'abscisse 1 a pour équation $$y=-1\times \left(x-1\right)+2\iff y=-x+3$$

• $y=-x+2$
• $y=-x+3$
• $y=-3x-2$