sujet : Antilles-Guyane

Énoncé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a : utilisation d'un graphique

La courbe $C_g$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) représente, dans un repère du plan, une partie de la représentation graphique de la fonction g définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{a}{{\mathrm{e}}^{bx}+1}}$ où a et b sont deux réels.
Soient A et B les points de coordonnées respectives $A\left(0;6\right)$ et $B\left(4;0\right)$.

1. Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe au point A, déterminer $g\left(0\right)$, puis $g\prime \left(0\right)$.

2. Exprimer en fonction de a et b la dérivée $g\prime \left(x\right)$.

3. À l'aide des résultats précédents prouver que $a=12$ et $b=\mathrm{0,5}$.

partie b : étude de fonctions

1. On donne $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-1$ pour tout réel x dans $\left[0;+\infty \right[$

   1. Calculer $f\left(0\right)$, puis étudier la limite de f en $+\infty$ .

   2. Étudier le sens de variations de f , puis dresser son tableau de variations sur $\left[0;+\infty \right[$.

   3. Tracer, sur le graphique en annexe, la représentation graphique $C_f$ de la fonction f .

2. On rappelle que $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{12}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+1}}$ et on admet que l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ admet une solution unique p sur $\left[0;+\infty \right[$.

   1. Déterminer la valeur exacte de p. Contrôler graphiquement ce résultat.

   2. En déduire la valeur exacte de $n=f\left(p\right)$.

   3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\ln 13}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$; que représente graphiquement cette intégrale ? Le préciser sur le graphique.

partie c : interprétation économique

Pour un prix de vente unitaire x, exprimé en centaines d'euros, $f\left(x\right)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, proposés sur le marché et $g\left(x\right)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, que les consommateurs sont prêts à acheter.
La fonction f est appelée fonction d'offre et la fonction g fonction de demande.
À l'aide des calculs réalisés dans la partie B, répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le prix d'équilibre arrondi à 1 euro ?

2. On appelle rente du producteur le nombre $R=np-{\displaystyle {\int }_0^{p}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ (n et p étant définis en B 2 ).
   Calculer la valeur exacte de R, puis son approximation décimale arrondie à la centaine d'euros.

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