Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sur une population donnée, abonnée à deux opérateurs téléphoniques A et B, on considère que, chaque année, 40 % des abonnés à l'opérateur A le quitte pour l'opérateur B et 10 % des abonnés à l'opérateur B le quitte pour l'opérateur A. On néglige les nouveaux abonnés.
On suppose de plus qu'en 2005, 25 % de cette population est abonnée à l'opérateur A.

partie a :

Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation. En déduire la matrice de transition, notée M.

Notons $A_{n}$ l'évènement « une personne prise au hasard, est abonnée à l'opérateur A l'année 2005 + n » et $B_{n}$ l'évènement « une personne prise au hasard, est abonnée à l'opérateur A l'année 2005 + n ».

Chaque année, 40 % des abonnés à l'opérateur A le quitte pour l'opérateur B et 10 % des abonnés à l'opérateur B le quitte pour l'opérateur A. D'où $E_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,4$ et $E_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,1$ .
On en déduit que $E_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 0,6$ et $E_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 0,9$ .

D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

La matrice de transition est $M = (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})$ .
On note :
- $a_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur A l'année 2005 + n
- $b_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur B l'année 2005 + n
- $b_{n}$ la matrice $(\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ , correspondant à l'état probabiliste l'année 2005 + n.
1. Préciser $E_{0}$ .
  
  En 2005, 25 % de cette population est abonnée à l'opérateur A d'où $a_{0} = 0,25$ et $b_{0} = 0,75$
  
  L'état probabiliste initial est $E_{0} = (\begin{matrix} 0,25 & 0,75 \end{matrix})$
2. Calculer $E_{1}$ en faisant apparaître vos calculs.
  
  La matrice ligne décrivant l'état probabiliste en 2006 est $\begin{matrix} E_{1} = E_{0} \times M & Soit & E_{1} = (\begin{matrix} 0,25 & 0,75 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & E_{1} = (\begin{matrix} 0,25 \times 0,6 + 0,75 \times 0,1 & 0,25 \times 0,4 + 0,75 \times 0,9 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & E_{1} = (\begin{matrix} 0,225 & 0,775 \end{matrix}) \end{matrix}$
  
  $E_{1} = (\begin{matrix} 0,225 & 0,775 \end{matrix})$
3. Déterminer la répartition prévisible de cette population en 2013.
  On pourra utiliser la calculatrice et on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
  
  La matrice ligne décrivant l'état probabiliste en 2013 est $\begin{matrix} E_{8} = E_{0} \times M^{8} & Soit & E_{8} = (\begin{matrix} 0,25 & 0,75 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})}^{8} \end{matrix}$
  
  Soit arrondie au centième, $E_{8} = (\begin{matrix} 0,2 & 0,8 \end{matrix})$
  
  En 2013, 20 % de cette population sera abonnée à l'opérateur A.
4. Soit E la matrice $(\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ où a et b sont deux réels positifs tels que $a + b = 1$ .
  Déterminer a et b tels que $E = E \times M$ . Interpréter ce résultat.
  
  On a $E = E \times M$ et $a + b = 1$ alors $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{array}{l} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{array}) \end{matrix}$ avec $a + b = 1$ . D'où a et b sont solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} a & = & 0,6 a + 0,1 b \\ b & = & 0,4 a + 0,9 b \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,4 a - 0,1 b & = & 0 \\ - 0,4 a + 0,1 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} \end{matrix}$
  
  Soit a et b solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} 4 a - b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 5 a & = & 1 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a & = & 0,2 \\ b & = & 0,8 \end{array} \end{matrix}$
  
  L'état stable du système est $E = (\begin{matrix} 0,2 & 0,8 \end{matrix})$ . À long terme, d'une année sur l'autre, 20 % de cette population sera abonnée à l'opérateur A.

partie b :

Montrer que $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,1$ .

Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} E_{n + 1} = E_{n} \times M & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a_{n + 1} & = & 0,6 a_{n} + 0,1 b_{n} \\ b_{n + 1} & = & 0,4 a_{n} + 0,9 b_{n} \end{array} \end{matrix}$ Or pour tout entier naturel n, $a_{n} + b_{n} = 1$ . D'où $a_{n}$ et $b_{n}$ vérifient le système $\begin{matrix} {\begin{matrix} a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,1 b_{n} \\ a_{n} + b_{n} = 1 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,1 \times (1 - a_{n}) \\ a_{n} + b_{n} = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,1 \\ a_{n} + b_{n} = 1 \end{matrix} \end{matrix}$

Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,1$ .
On pose, pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,2$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  
  Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} u_{n + 1} = a_{n + 1} - 0,2 & \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,1 - 0,2 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,5 a_{n} - 0,1 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,5 \times (a_{n} - 0,2) \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,5 u_{n} \end{matrix}$
  
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,5 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5. Or $\begin{matrix} u_{0} = a_{0} - 0,2 & Soit & u_{0} = 0,25 - 0,2 = 0,05 \end{matrix}$
  
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_{0} = 0,05$ .
2. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction de n.
  
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_{0} = 0,05$ alors, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,05 \times {0,5}^{n}$
  
  Or pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} u_{n} = a_{n} - 0,2 & \Leftrightarrow & a_{n} = u_{n} + 0,2 \\ \Leftrightarrow & a_{n} = 0,05 \times {0,5}^{n} + 0,2 \end{matrix}$
  
  Donc pour tout entier naturel n, $a_{n} = 0,05 \times {0,5}^{n} + 0,2$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ lorsque n tend vers $+ \infty$ . Que retrouve-t-on ?
  
  $0 < 0,5 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,5}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} 0,05 \times {0,5}^{n} + 0,2 = 0,2$
  
  La suite $(a_{n})$ converge vers 0,2. On retrouve le résultat établi dans la partie A à la question 2d : sur le long terme, d'une année sur l'autre, d'une année sur l'autre, 20 % de cette population sera abonnée à l'opérateur A.

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