sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a : utilisation d'un graphique

La courbe $C_g$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) représente, dans un repère du plan, une partie de la représentation graphique de la fonction g définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{a}{{\mathrm{e}}^{bx}+1}}$ où a et b sont deux réels.
Soient A et B les points de coordonnées respectives $A\left(0;6\right)$ et $B\left(4;0\right)$.

1. Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe au point A, déterminer $g\left(0\right)$, puis $g\prime \left(0\right)$.

   $A\left(0;6\right)$ est uun point de la courbe $C_g$ alors, $g\left(0\right)=6$

   Le nombre dérivé $g\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe au point A d'abscisse 0. Soit $$g\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{0-6}{4-0}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$

   Ainsi, $g\left(0\right)=6$ et $g\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

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2. Exprimer en fonction de a et b la dérivée $g\prime \left(x\right)$.

   $g={\displaystyle \frac{a}{u}}$ d'où $g\prime =-{\displaystyle \frac{au\prime }{u^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $u\left(x\right)={\mathrm{e}}^{bx}+1$ et $u\prime \left(x\right)=b{\mathrm{e}}^{bx}$. D'où $$g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{ab{\mathrm{e}}^{bx}}{{\left({\mathrm{e}}^{bx}+1\right)}^2}}$$

   $g\prime$ est la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{ab{\mathrm{e}}^{bx}}{{\left({\mathrm{e}}^{bx}+1\right)}^2}}$.

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3. À l'aide des résultats précédents prouver que $a=12$ et $b=\mathrm{0,5}$.

   D'après la première question, $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{ccc}g\left(0\right)& =& 6\\ g\prime \left(0\right)& =& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{a}{2}}& =& 6\\ -{\displaystyle \frac{ab}{4}}& =& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a=12\\ b={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$$

   La fonction g est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{12}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+1}}$.

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partie b : étude de fonctions

1. On donne $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-1$ pour tout réel x dans $\left[0;+\infty \right[$

   1. Calculer $f\left(0\right)$, puis étudier la limite de f en $+\infty$ .

      $f\left(0\right)={\mathrm{e}}^0-1=0$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-1=+\infty$

      On a donc $f\left(0\right)=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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   2. Étudier le sens de variations de f , puis dresser son tableau de variations sur $\left[0;+\infty \right[$.

      La fonction exponentielle est strictement croissante et la fonction affine $u:x⟼\mathrm{0,5}x$ est strictement croissante donc par composition, la fonction $x⟼{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$ est strictement croissante.

      Par conséquent, la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-1$ est strictement croissante.

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   3. Tracer, sur le graphique en annexe, la représentation graphique $C_f$ de la fonction f .

2. On rappelle que $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{12}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+1}}$ et on admet que l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ admet une solution unique p sur $\left[0;+\infty \right[$.

   1. Déterminer la valeur exacte de p. Contrôler graphiquement ce résultat.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-1={\displaystyle \frac{12}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+1}}& \iff & {\displaystyle \frac{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-1\right)\times \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+1\right)-12}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+1}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\right)}^2-1-12}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+1}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-13}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+1}}=0\hfill \\ & \iff & {\mathrm{e}}^x=13\hfill \\ & \iff & x=\ln 13\hfill \end{array}$$ Comme $\ln 13>0$ :

      L'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ admet une solution unique $p=\ln 13$

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      $\ln 13\approx \mathrm{2,6}$. Avec la précision permise par le graphique, l'abscisse du point d'intersection des deux courbes vaut environ 2,6.

   2. En déduire la valeur exacte de $n=f\left(p\right)$.

      $$f\left(\ln 13\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}\times \ln 13}-1={\left({\mathrm{e}}^{\ln 13}\right)}^{\mathrm{0,5}}-1=\sqrt{13}-1$$

      $f\left(\ln 13\right)=\sqrt{13}-1$

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   3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\ln 13}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$; que représente graphiquement cette intégrale ? Le préciser sur le graphique.

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,5}}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-x=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-x$$

      D'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{\ln 13}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-1\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\ln 13\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& 2\sqrt{13}-\ln 13-2\hfill \end{array}$$

      La fonction f est strictement croissante et $f\left(0\right)=0$ donc f est positive sur $\left[0;+\infty \right[$.

      L'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{\ln 13}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=2\sqrt{13}-\ln 13-2$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, les axes du repère et la droite d'équation $x=\ln 13$.

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partie c : interprétation économique

Pour un prix de vente unitaire x, exprimé en centaines d'euros, $f\left(x\right)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, proposés sur le marché et $g\left(x\right)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, que les consommateurs sont prêts à acheter.
La fonction f est appelée fonction d'offre et la fonction g fonction de demande.
À l'aide des calculs réalisés dans la partie B, répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le prix d'équilibre arrondi à 1 euro ?

   Exprimé en centaines d'euros, le prix d'équilibre est la solution p de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ Soit $p=\ln 13\approx \mathrm{2,56}$

   Arrondi à l'euro près, le prix d'équilibre est égal à 256 euros.

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2. On appelle rente du producteur le nombre $R=np-{\displaystyle {\int }_0^{p}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ (n et p étant définis en B 2 ).
   Calculer la valeur exacte de R, puis son approximation décimale arrondie à la centaine d'euros.

   $$R=\left(\sqrt{13}-1\right)\times \ln 13-\left(2\sqrt{13}-\ln 13-2\right)=\sqrt{13}\ln 13-2\sqrt{13}+2\approx 4$$

   $R=\sqrt{13}\ln 13-2\sqrt{13}+2$ soit 400 euros arrondi à la centaine d'euros près.

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