Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une bibliothécaire a constaté que

Lorsqu'un étudiant choisit un livre, ce livre est une bande dessinée avec une probabilité égale à 0,3 ou un roman une fois sur cinq ; sinon c'est un livre de cours.
Lorsque l'étudiant choisit un roman, il prend aussi un magazine une fois sur deux.
La probabilité qu'il emprunte à la fois une bande dessinée et un magazine est 0,24.
Lorsqu'il prend un livre de cours, il n'emprunte pas de magazine.

Un étudiant entre dans la bibliothèque. On notera B l'évènement « il emprunte une bande dessinée », R l'évènement « il emprunte un roman », C l'évènement « il emprunte un livre de cours », M l'évènement « il emprunte un magazine ».
1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
  
  On a :
  - Le livre choisi est une bande dessinée avec une probabilité égale à 0,3 ou un roman une fois sur cinq ; sinon c'est un livre de cours. d'où $p (R) = 0,3$ , $p (R) = 0,2$ .
  - Lorsque l'étudiant choisit un roman, il prend aussi un magazine une fois sur deux d'où $p_{R} (M) = 0,5$ et $p_{R} (\bar{M}) = 1 - 0,5 = 0,5$
  - Lorsque l'étudiant un livre de cours, il n'emprunte pas de magazine d'où $p_{C} (\bar{M}) = 1$
  D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé :
2. Calculer la probabilité qu'il choisisse un livre de cours.
  
  $\begin{matrix} p (R) + p (R) + p (C) = 1 & d'où & p (C) = 1 - (0,3 + 0,2) = 0,5 \end{matrix}$
  
  La probabilité qu'un étudiant choisisse un livre de cours est égale à 0,5.
3. Calculer la probabilité qu'il emprunte un magazine sachant qu'il a déjà pris une bande dessinée.
  
  $\begin{matrix} p_{R} (M) = \frac{p (R \cap M)}{p (R)} & soit & p_{R} (M) = \frac{0,24}{0,3} = 0,8 \end{matrix}$
  
  La probabilité qu'un étudiant emprunte un magazine sachant qu'il a déjà pris une bande dessinée est égale à 0,8.
4. Calculer la probabilité qu'il reparte avec un magazine.
  
  Les évènements B, R et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (M) = p (B \cap M) + p (R \cap M) + p (C \cap M)$
  
  Or $p (C \cap M) = 0$ et $p (R \cap M) = p_{R} (M) \times p (R)$ . Soit $p (R \cap M) = 0,5 \times 0,2 = 0,1$ . D'où $p (M) = 0,24 + 0,1 = 0,34$
  
  Ainsi, la probabilité qu'un étudiant reparte avec un magazine est égale à 0,34.
5. Quelle est la probabilité qu'il emprunte un roman sachant qu'il a pris un magazine ? Le résultat sera arrondi au millième.
  
  $\begin{matrix} p_{M} (R) = \frac{p (R \cap M)}{p (M)} & soit & p_{M} (R) = \frac{0,24}{0,34} = \frac{12}{17} \approx 0,706 \end{matrix}$
  
  Arrondie au millième, la probabilité qu'un étudiant emprunte un roman sachant qu'il a pris un magazine est 0,706.
Trois étudiants sont entrés en même temps et choisissent, de manière indépendante, des ouvrages. On note X le nombre total de magazines qu'ils empruntent. On suppose dans cette question que $p (M) = 0,34$ où M est l'évènement défini dans la question 1.
1. Déterminer la probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine chacun.
  
  Les trois étudiants choisissent, de manière indépendante, des ouvrages, l'expérience aléatoire est modélisée par la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.
  La loi de probabilité associée au nombre d'étudiants qui choisissent un magazine est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,34.
  
  La probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine chacun est $p (X = 3) = {0,34}^{3} \approx 0,039$
  
  La probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine est 0,039
2. Quelles sont les valeurs possibles de X ?
  
  La variable X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.
3. Déterminer la loi de probabilité de X ; on présentera les résultats sous forme d'un tableau.
  Les résultats seront arrondis au millième.
  
  Traduisons la situation à l'aide d'un arbre :
  
  Nous avons donc : $\begin{matrix} p (X = 0) = {0,66}^{3} \approx 0,2875 & p (X = 1) = 3 \times 0,34 \times {0,66}^{2} \approx 0,4443 & p (X = 2) = 3 \times 0,66 \times {0,34}^{2} \approx 0,2289 \end{matrix}$
  
  La loi de probabilité de la variable X est :
  
  $x_{i}$ 0 1 2 3
  
  $p (X = x_{i})$ 0,2875 0,4443 0,2289 0,0393
  
  remarque
  
  Les résultats ont été arrondis au dix millième pour que la somme des probabilités soit égale à 1.
4. Calculer l'espérance de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?
  
  L'espérance de cette loi est : $E (X) = 0 \times 0,2875 + 1 \times 0,4443 + 2 \times 0,2289 + 3 \times 0,0393 = 1,02$
  
  L'espérance de cette loi est 1,02. Pour un groupe de trois étudiants, un magazine environ est emprunté en moyenne.

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$x_{i}$	0	1	2	3
$p (X = x_{i})$	0,2875	0,4443	0,2289	0,0393